Kuralı gör, canlı dene, soruyla pekiştir.

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir: {0, 1, 2, …, 9} → 10 rakam vardır.

Rakamları farklı en büyük üç basamaklı sayı 987, en küçük üç basamaklı sayı 102’dir.

Doğal sayılar: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}

Sayma sayıları: ℕ⁺ = {1, 2, 3, …}

0 bir doğal sayıdır ama sayma sayısı değildir.

ℤ = ℤ⁻ ∪ {0} ∪ ℤ⁺

0 ne pozitif ne negatiftir; işareti yoktur.

a, b tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere ℚ = { ab } şeklinde yazılabilen sayılar.

Her tam sayı rasyoneldir (5 = 5/1). Devirli ondalık sayılar da rasyoneldir: 0,3̅ = 1/3.

Rasyonel olarak yazılamayan sayılar: ℚ′ : √2, √3, ∛5, π, e …

ℚ ∩ ℚ′ = ∅ · Tam kare olmayan doğal sayıların karekökü irrasyoneldir.

ℕ⁺ ⊂ ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Sayı doğrusundaki her nokta bir reel sayıya karşılık gelir.

√2 · √8 = 4 (rasyonel) ama √2 · √3 = √6 (irrasyonel).

1) Parantez  2) Üs – kök  3) Çarpma – bölme (soldan sağa)  4) Toplama – çıkarma (soldan sağa)

Örnek: 12 − 8 : 4 · 2 = 12 − 2 · 2 = 8

a0 → tanımsız (a ≠ 0)   0a = 0   00 → belirsiz

Payda hiçbir zaman sıfır olamaz; payda sıfır yapan değer çözüm kümesinden atılır.

a + b sabit ise a·b çarpımı sayılar birbirine yakınken en büyük, uzakken en küçüktür.

a · b sabit ise a + b toplamı sayılar yakınken en küçük, uzakken en büyüktür.

Örnek: a·b = 24 (doğal sayılar) → a + b en küçük 4 + 6 = 10, en büyük 1 + 24 = 25.

Soruda verilen kural aynen uygulanır: harflerin yerine sayılar yazılır, içteki işlem önce yapılır.

Örnek: a ∗ b = 2a − b ise (3 ∗ 1) ∗ 4 = 5 ∗ 4 = 6

a, b rakam ise 0 ≤ a ≤ 9; ab iki basamaklıysa a ≠ 0

“Farklı rakamlar” denirse aynı rakam iki kez kullanılamaz; en büyük-en küçük sorularında önce bu kontrol edilir.

Çift: 2n   Tek: 2n + 1   (n ∈ ℤ)

0 çift sayıdır. Negatif sayılar da tek/çift olabilir: −3 tek, −4 çift.

Toplamda tek sayıların adedi çiftse sonuç çift, tekse sonuç tektir.

Çarpanlardan biri çiftse çarpım çifttir.

n ∈ ℤ⁺ için Tekⁿ = Tek   Çiftⁿ = Çift

Üs, sayının tek/çiftliğini değiştirmez (üs pozitif tam sayı iken). a⁵ + b² ile a + b aynı türdendir.

Sonuç tam sayı ise: ÇT = Ç TT = T ÇÇ = ?

Tek sayı çift sayıya tam bölünemez. Ç/Ç tek de çift de olabilir: 6/2 = 3, 8/2 = 4.

Tek yerine 1, çift yerine 2 (veya 0) yazarak ifadeyi hızlıca test et.

Örnek: a tek, b çift: a² + 3b → 1 + 6 = 7 → tek

Negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir. Bölmede de aynı kural geçerlidir.

(−a)^çift = + (−a)^tek = −

−a² ≠ (−a)² : −2² = −4, (−2)² = 4

Çift kuvvetli çarpan işareti etkilemez → işaret sorularında önce onları “sil”.

a·b < 0 ⇒ zıt işaretli ab > 0 ⇒ aynı işaretli

a²·b < 0 ⇒ b < 0 a³·b > 0 ⇒ a·b > 0

Önce çift kuvvetli çarpanları ayır (≥ 0), sonra kalan çarpanların işaretini tablo ile eşleştir. n tam sayısının tek/çift olması bilinmiyorsa iki durumu da dene; çelişki vereni at.

n, n+1, n+2, … ardışık tam sayı

2n, 2n+2, … çift   2n+1, 2n+3, … tek

Ardışık k’nın katları: kn, kn + k, kn + 2k, …

Örnek: 7, 10, 13, …, 97 → (97 − 7)/3 + 1 = 31 terim

Tek sayıda terim varsa: Toplam = Ortanca terim × terim sayısı.

Örnek: 1 + 2 + … + 20 = 20·21/2 = 210

2 + 4 + … + 2n = n(n + 1)

1 + 3 + … + (2n − 1) = n²

1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)6

1³ + 2³ + … + n³ = [n(n+1)2]²

Ardışık k sayının çarpımı k!’e tam bölünür; ardışık iki sayının çarpımı daima çifttir.

1’den n’e kadar k’nın katı olan sayı adedi: [ n / k ] (tam kısım)

Örnek: 1–100 arasında 3’ün katı 33, 5’in katı 20, 15’in katı 6 tanedir.

Ardışık n sayının içinde k’nın katı ya [n/k] ya da [n/k] + 1 tanedir.

Tam 3 tane 5’in katı için en az 11 ardışık sayı gerekir (5, …, 15 gibi).

Piramit / tablo sorularında önce n. satırın son terimini bul: satırlarda 1, 2, 3, … terim varsa ilk n satırdaki terim sayısı n(n+1)2

∑_k=1ⁿ c = c·n ∑_k=1ⁿ k = n(n+1)2

Ortak çarpan dışarı alınır: ∑ 3k = 3 ∑ k.

1’den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1’den büyük doğal sayılar.

1 asal değildir. 2 tek çift asal sayıdır; diğer bütün asallar tektir.

n sayısı, karekökünden küçük veya eşit asallardan hiçbirine bölünmüyorsa asaldır.

Örnek: 173: √173 ≈ 13,1 → 2, 3, 5, 7, 11, 13’e bölünmez → asal

p asal ve a · b = p (a, b ∈ ℕ) ise bir çarpan 1, diğeri p’dir.

İfade çift çıkıyorsa ve asal isteniyorsa tek seçenek 2’dir.

1’den başka ortak böleni olmayan sayılar: EBOB(a, b) = 1

Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. a/b = c/d ve iki kesir de sadeleşmiyorsa a = c, b = d.

0! = 1! = 1

n! = n · (n − 1)!

(n + 1)! − n! = n · n!

Toplam ve farklarda küçük faktöriyeli ortak paranteze al: 7! + 6! = 6!(7 + 1) = 8 · 6!

Örnek: 30! içinde 2’nin kuvveti: 15 + 7 + 3 + 1 = 26

n! sayısının sonundaki sıfır adedi = içindeki 5’in kuvveti

Örnek: 100! → 20 + 4 = 24 sıfır

n ≥ 5 ise n! sayısının birler basamağı 0’dır.

1!·2!·…·n! içinde p asalının kuvveti, her k! için ayrı bulunup toplanır.

Örnek: 1!·2!·…·14! içinde 7: 7!…13! birer, 14! iki → 7 + 2 = 9

4 7 2 sayısında 7’nin sayı değeri 7, basamak değeri 70’tir.

Basamaklar sağdan sola: birler, onlar, yüzler, binler …

ab = 10a + b

abc = 100a + 10b + c

abcd = 1000a + 100b + 10c + d

ab + ba = 11(a + b)

ab − ba = 9(a − b)

abc − cba = 99(a − c)

abc − cba farkında b’nin değeri sonucu etkilemez.

aa = 11a aaa = 111a = 3·37·a

abab = 101 · ab abcabc = 1001 · abc

n basamaklı A sayısının

sağına k yazılırsa: 10A + k

soluna k yazılırsa: k · 10ⁿ + A

1’den n’e kadar sayıları yazmak için:

1–9: 9 rakam · 10–99: 180 · 100–999: 2700

Örnek: 1’den 120’ye kadar: 9 + 180 + 21·3 = 252 rakam

Çözümleme sonrası denklem kurulur; harflerin rakam (0–9) ve ilk basamağın 0 olamayacağı unutulmaz.

Örnek: AB − (A + B) = 9A → 9A = 36 ise A = 4, B serbest

A: bölünen, B: bölen, C: bölüm, K: kalan   0 ≤ K < B

K = 0 ise A sayısı B’ye tam bölünür. Kalan, bölenden daima küçüktür.

B ile bölmede kalan en çok B − 1 olur.

Bölen ve bölüm yer değiştirebiliyorsa kalan ikisinden de küçük olmalı.

Örnek: A = 7C + K → A en büyük olsun dersek K = 6 alınır.

Toplam, fark ve çarpımın kalanı = kalanların toplam, fark, çarpımının kalanı

Negatif kalan çıkarsa bölen eklenir: −3 (mod 17) ≡ 14.

x’in 17 ile bölümünden kalan 15 ise x ≡ −2 (mod 17) yazmak hesabı kısaltır.

Örnek: 5x³ − 2x² + x + 11 → 5(−8) − 2·4 − 2 + 11 = −39 ≡ 12

A sayısı B’ye, bölüm C’ye bölündüğünde kalanlar K₁, K₂ ise:

İç içe bölmelerde içten dışa doğru eşitlik yazılır.

Bir sayının k·a ile bölümünden kalan biliniyorsa a ile bölümünden kalan bu kalandan bulunur; tersi bulunamaz.

Örnek: b mod a² = 24 ise b mod a = 24 mod a

aⁿ’nin kalanı için önce kalanı 1 veya −1 yapan kuvvet bulunur.

Örnek: 2¹⁰⁰ mod 7: 2³ ≡ 1 → 2⁹⁹·2 ≡ 2

2: birler basamağı çift.   5: birler basamağı 0 veya 5.

Kalan, birler basamağının 2’ye / 5’e bölümünden kalandır.

Rakamlar toplamı 3’e (9’a) bölünmeli.

Kalan = rakamlar toplamının 3 (9) ile bölümünden kalan.

4: son iki basamak 4’e bölünmeli (veya 00).

8: son üç basamak 8’e bölünmeli.

Birler basamağı 0 olmalı; kalan birler basamağındaki rakamdır.

Sağdan sola rakamlar + − + − … işaretlenip toplanır; sonuç 11’in katı olmalı.

ABCD’nin kalanı 5 ise ters sayı DCBA’nın kalanı −5 ≡ 6 olur.

Aralarında asal çarpanların her birine bölünmeli:

6 = 2·3 12 = 3·4 15 = 3·5 36 = 4·9 45 = 5·9

12 için 2·6 alınamaz; çarpanlar aralarında asal olmalıdır.

1001 = 7 · 11 · 13 → abcabc sayıları 7, 11 ve 13’e tam bölünür.

A sayısı a, b, c ile bölündüğünde hep k kalanını veriyorsa A = EKOK(a, b, c)·t + k

(a, b, c farklı asal sayılar)

Örnek: 360 = 2³ · 3² · 5

Örnek: 360 → 4·3·2 = 24 pozitif bölen

Negatif bölen sayısı = pozitif bölen sayısı

Tüm tam sayı bölenlerinin toplamı 0’dır.

Asal olmayan pozitif bölen = toplam − asal bölen sayısı

1 asal değildir; asal olmayan bölenlerin içinde sayılır.

Örnek: 12 = 2²·3 → (1+2+4)(1+3) = 28

Her üs çift seçilir: A = 2⁸·3²·5⁴ → (4+1)(1+1)(2+1) = 30 tam kare bölen

Tam küp bölende üsler 0, 3, 6, … seçilir.

Bölen sayısı tek ise sayı tam karedir.

A = 2ⁿ·B (B tek) ise tek bölen sayısı = B’nin bölen sayısı;

çift bölen = toplam − tek bölen

Pozitif bölen sayısı 3 ise sayı bir asalın karesidir: n = p²

Bölen sayısı asal p ise sayı q^p−1 biçimindedir.

İki veya daha fazla sayıyı birlikte bölen en büyük sayı. Ortak asal çarpanların en küçük üslüleri çarpılır.

Örnek: EBOB(72, 120) = 2³·3 = 24

Sayıların ortak katlarının en küçüğü. Bütün asal çarpanların en büyük üslüleri çarpılır.

Örnek: EKOK(72, 120) = 2³·3²·5 = 360

Sadece iki sayı için geçerlidir.

EBOB(a, b) = 1 ⇒ EKOK(a, b) = a · b

EBOB = d ise a = d·x, b = d·y (x, y aralarında asal)

EBOB ≤ a, b ≤ EKOK   EBOB(x, x+1) = 1

EBOB(ka, kb) = k·EBOB(a, b)

EBOB = EKOK eşitliği ancak sayılar eşitse sağlanır.

EBOB = EBOB(paylar)EKOK(paydalar) EKOK = EKOK(paylar)EBOB(paydalar)

“En az sayıda eş parça, en büyük kare, eşit aralıklarla ağaç” → EBOB

Örnek: 80×90 mukavva en büyük eş kare: kenar EBOB = 10, adet 8·9 = 72

“İlk kez birlikte, en küçük kare, her seferinde aynı kalan” → EKOK

3’e, 4’e, 5’e bölününce sırayla 2, 3, 4 kalanı veren sayı: EKOK·k − 1

Belirli aralıklarla tekrar eden olaylarda periyot bulunur; istenen sıra periyoda bölünür, kalan konuma bakılır.

Kalan 0 ise periyodun son elemanı alınır.

Periyot 7 gün. Bugünden n gün sonrası → n mod 7 kadar ileri.

Örnek: Pazartesiden 72 gün sonra: 72 = 7·10 + 2 → Çarşamba

Saat: 12 / 24   Yıl: 12 ay

Normal yıl 365 gün = 52 hafta + 1 gün; artık yıl 366 gün.

TATAR… gibi dizilerde bir periyotta hangi harften kaç tane olduğu sayılır.

Örnek: TATAR: bir periyotta 2 A, 1 R → 35. A için 17 tam periyot + 1 A

0, 1, 5, 6 ile biten sayıların her kuvveti aynı rakamla biter.

“a gün çalış, b gün izin” → periyot a + b. İki farklı döngü ilk kez EKOK kadar gün sonra çakışır.

Pay ve payda aynı sayıyla çarpılır/bölünürse değer değişmez.

Basit: |pay| < |payda|   Bileşik: |pay| ≥ |payda|

Tam sayılı: a bc = a·c + bc

Paydalar EKOK’ta eşitlenir.

ab · cd = acbd   ab : cd = ab · dc

Paylar eşitse paydası küçük olan büyüktür; paydalar eşitse payı büyük olan büyüktür.

Pay ile payda arasındaki fark sabitse: basit kesirlerde sayılar büyüdükçe kesir büyür (1/2 < 2/3 < 3/4).

En alttan başlanarak yukarı doğru sadeleştirilir.

Örnek: 1 + 1/(1 + 1/2) = 1 + 2/3 = 5/3

Örnek: 1/(1·2) + … + 1/(9·10) = 1 − 1/10 = 9/10

Örnek: (1 − 1/4)…(1 − 1/144) = (1/12)·(13/2) = 13/24

1/a + 1/b + 1/c = 1 denkleminin pozitif tam sayı çözümleri:

(3, 3, 3) · (2, 4, 4) · (2, 3, 6)

Paydası 10’un kuvveti olan kesirler: 0,57 = 57100

Virgülden sonra kaç basamak varsa paydada o kadar sıfır olur.

Toplama/çıkarma: virgüller alt alta. Çarpma: virgülden sonraki basamaklar toplanır.

Bölme: virgülden kurtulmak için pay ve payda 10ⁿ ile çarpılır.

Sayı = Tüm sayı − Devretmeyen kısımDevreden kadar 9, devretmeyen kadar 0

0,9̅ = 99 = 1   2,49̅ = 2,5

Sadeleşmiş kesrin paydasında yalnız 2 ve 5 çarpanı varsa ondalık açılım sonludur; başka asal çarpan varsa devirlidir.

Ondalık sayılarda basamak sayısı eşitlenip karşılaştırılır; devirli sayılar birkaç basamak açılarak yazılır.

Örnek: 0,3̅ = 0,333… > 0,33

0 < x < 1 için x² < x < √x < 1/x

(a ≠ 0)

Bilinmeyenin en büyük kuvveti 1’dir; tek bir kökü vardır.

Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenir/çıkarılır, iki taraf sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılır/bölünür.

Paydalı denklemlerde paydalar EKOK’ta eşitlenir; paydayı sıfır yapan değer kök olamaz.

Yok etme: denklemler uygun sayılarla çarpılıp taraf tarafa toplanır.

Yerine koyma: bir bilinmeyen çekilip diğerinde yazılır.

ax + by = c, dx + ey = f için

ad ≠ be → tek çözüm

ad = be ≠ cf → ∅ ad = be = cf → sonsuz

İstenen ifade, denklemlerin uygun katlarının toplamı/farkı olarak yazılır; çoğu zaman tek tek bilinmeyenleri bulmaya gerek kalmaz.

Örnek: Denklemler toplanıp 3’e bölünürse x + y + z bulunur.

x = yz + 4, y = xz + 4 gibi denklemler taraf tarafa çıkarılır; x ≠ y ise ortak çarpana bölünür.

Örnek: x − y = z(y − x) ⇒ z = −1

Pay ve payda arasındaki fark sabitse kesir “1 + …” biçiminde yazılır.

< , > , ≤ , ≥

İki tarafa aynı sayı eklenirse yön değişmez.

Negatif sayıyla çarpılır/bölünürse yön değişir

Örnek: −2x < 6 ⇒ x > −3

Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir, çıkarılamaz.

a − b için: b’nin aralığı −1 ile çarpılıp a ile toplanır.

Çarpımda uç değerlerin dört çarpımı bulunur; en küçüğü ve en büyüğü alınır.

Kare alırken aralık 0’ı içeriyorsa en küçük değer 0 olur.

Örnek: −3 < x < 2 ⇒ 0 ≤ x² < 9

a ve b aynı işaretli iken a < x < b ⇒ 1b < 1x < 1a

Aralık 0’ı içeriyorsa ters çevrilerek tek aralık yazılamaz.

a² + 2a = (a + 1)² − 1

b² − 4b = (b − 2)² − 4

İkinci dereceden ifadelerin aralığı tam kareye tamamlanarak bulunur.

x³ < 27 ⇔ x < 3 (tek kuvvet yönü korur)

x² < 16 ⇔ −4 < x < 4

Her eşitsizliğin doğrusu çizilir, sağlayan bölge taranır; ortak bölge çözüm kümesidir.

Bölgenin köşeleri doğruların kesim noktalarıdır; alan bu köşelerle hesaplanır.

|x| ≥ 0 · bir sayının sayı doğrusunda 0’a uzaklığıdır.

Örnek: |x − 3| = 5 → 3’e uzaklığı 5 olan noktalar: −2 ve 8

|−x| = |x| |x·y| = |x|·|y|

|x/y| = |x|/|y| |xⁿ| = |x|ⁿ

√(x²) = |x|

|x| − |y| ≤ |x − y|

İçin işareti bilinmiyorsa önce içi sıfır yapan değer (kritik nokta) bulunur, sonra aralıklara ayrılır.

Örnek: x < 2 ise |x − 2| = 2 − x

|x − a₁| + … + |x − aₙ| ifadesi x ortanca değer olduğunda en küçüktür.

Örnek: |x − 1| + |x − 5| en küçük 4 (1 ≤ x ≤ 5)

|x − a| − |x − b| ifadesi [−|a − b| , |a − b|] aralığındaki tüm değerleri alır.

Koordinat düzleminde köşeleri (±k, 0), (0, ±k) olan kare bölge; alanı 2k²

a > 0 ⇒ f(x) = a ∨ f(x) = −a

a = 0 ⇒ f(x) = 0 a < 0 ⇒ ∅

İki durum ayrı ayrı çözülüp birleştirilir.

Önce g(x) ≥ 0 şartı yazılır, sonra iki durum çözülür ve bulunan kökler şarta göre kontrol edilir.

Dıştan içe açılır: ||x + 2| − m| = 6 ⇒ |x + 2| = m ± 6

Üç kök için durumlardan biri |…| = 0 olmalıdır.

Örnek: |x − 3| < 2 ⇒ 1 < x < 5

Örnek: |x − 3| > 2 ⇒ x < 1 ∨ x > 5

Sayı doğrusunda iki ayrı aralık oluşur.

m < x < n ⇔ |x − m+n2| < n−m2

Örnek: 36,5 °C’den en çok 2 sapma: |t − 36,5| ≤ 2

Birden çok mutlak değer varsa kritik noktalar sayı doğrusuna yerleştirilir ve her aralıkta ifade açılarak çözülür.

a⁰ = 1 (a ≠ 0) a¹ = a 0⁰ tanımsız

Negatif üs sayının işaretini değil, yerini (pay ↔ payda) değiştirir.

(−a)²ⁿ = a²ⁿ (−a)²ⁿ⁺¹ = −a²ⁿ⁺¹

−aⁿ ≠ (−a)ⁿ : −3² = −9, (−3)² = 9

aᵐ · aⁿ = a^m+n aᵐ : aⁿ = a^m−n

aⁿ · bⁿ = (ab)ⁿ aⁿ : bⁿ = (a/b)ⁿ

a^mn ile (aᵐ)ⁿ farklıdır: 2^3² = 2⁹, (2³)² = 2⁶.

Yalnız tabanı ve üssü aynı terimler toplanır: 3·2ˣ + 5·2ˣ = 8·2ˣ

Örnek: 2ˣ⁺² + 2ˣ = 2ˣ(4 + 1) = 5·2ˣ

Taban > 1 ise üssü büyük olan büyük; 0 < taban < 1 ise üssü büyük olan küçüktür.

Üsler eşitse (pozitif) tabanı büyük olan büyüktür.

Karşılaştırmak için tabanlar ya da üsler eşitlenir.

a · 10ⁿ (1 ≤ a < 10) sayısı n + 1 basamaklıdır.

Örnek: 2¹⁰ · 5⁸ = 4 · 10⁸ → 9 basamak

x = 1 + 2ᵃ gibi ifadelerde 2ᵃ = x − 1 çekilip diğer ifadede yerine yazılır.

2^−a = 1/2ᵃ dönüşümünü unutma.

(a ≠ 0, ±1)

Örnek: 4ˣ⁺¹ = 8 ⇒ 2^2x+2 = 2³ ⇒ x = 1/2

xⁿ = yⁿ ise n tek: x = y · n çift: x = ±y

aˣ = bˣ (a ≠ b) ⇒ x = 0

aˣ = 1 ⇒ x = 0 veya a = 1 veya (a = −1, x çift)

Örnek: 3ˣ⁺² − 3ˣ = 72 ⇒ 3ˣ(9 − 1) = 72 ⇒ 3ˣ = 9 ⇒ x = 2

4ˣ − 3·2ˣ − 4 = 0 → 2ˣ = t: t² − 3t − 4 = 0 → t = 4

t = 2ˣ daima pozitiftir; negatif kök atılır.

Örnek: 5^a−b + 5^b−a = 7 ⇒ 5^2(a−b) + 5^2(b−a) = 47

a = k^1/x, b = k^1/y … yazılır, sayılar çarpılarak k’nın kuvveti bulunur.

Örnek: 2ˣ = 3ʸ = 6 ⇒ 1/x + 1/y = 1

a > 1: aˣ < aʸ ⇔ x < y

0 < a < 1: aˣ < aʸ ⇔ x > y

Taban 1’den küçükse yön değişir.

n çift ise a ≥ 0 olmalıdır; n tek ise a her reel sayı olabilir.

√a²b = |a|√b ²ⁿ√a²ⁿ = |a| ²ⁿ⁺¹√a²ⁿ⁺¹ = a

ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√ab ⁿ√a : ⁿ√b = ⁿ√a/b

Kök dereceleri farklıysa EKOK’ta eşitlenir.

Yalnız kök içi ve derecesi aynı olanlar: 3√2 + 5√2 = 8√2

Örnek: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2

a, b, c, d rasyonel ve a + b√k = c + d√k ise a = c, b = d

Kök dereceleri eşitlenir veya katsayılar kök içine alınır.

Örnek: 2√3 = √12 < √13

√x² + a² + √y² + b² ≥ √(x + y)² + (a + b)²

Vektörlerin uzunlukları toplamı ≥ toplam vektörün uzunluğu (Minkowski).

√a + √b ↔ √a − √b

Örnek: 1/(√5 − 2) = √5 + 2

(³√a + ³√b)(³√a² − ³√ab + ³√b²) = a + b

(³√a − ³√b)(³√a² + ³√ab + ³√b²) = a − b

(a > b)

Örnek: √13 + 2√42 = √7 + √6

(2ⁿ − 1)(2ⁿ + 1) = 2²ⁿ − 1 adım adım uygulanır.

Örnek: (2⁶ − 1)(2⁶ + 1)(2¹² + 1) = 2²⁴ − 1

(√x + a − √x)(√x + a + √x) = a

Fark verilip toplam sorulduğunda iki ifadenin çarpımının sabit olduğunu kullan.

Örnek: x³ − x² = x²(x − 1)

Dört terimli ifadelerde ikişerli gruplar denenir.

Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı: x² + bx + c = (x + m)(x + n)

Örnek: x² + 4x − 21 = (x + 7)(x − 3)

Çapraz çarpma: ax² = (px)(qx), c = r·s ve ps + qr = b olacak biçimde ayrılır.

Örnek: 3x² + 5x − 2 = (3x − 1)(x + 2)

(x − 2)(x + 5)(x + 1)(x + 2) gibi ifadelerde sabit terimler toplamı eşit olan ikililer çarpılır: t = x² + 3x

p asal ve p = (x + a)(x + b) ise çarpanlardan biri ±1 olmalıdır.

İki çarpanın işareti aynı olmalı ki çarpım pozitif olsun.

Pay ve payda çarpanlarına ayrılır, ortak çarpanlar sadeleşir; sadeleşen çarpanı sıfır yapan değerler tanım dışıdır.

Örnek: 101² − 99² = 2 · 200 = 400

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

(a − b)² = (b − a)²

a² + b² = (a + b)² − 2ab

(a + b)² − (a − b)² = 4ab

x² + 1x² = (x + 1x)² − 2

(x − 1x)² = (x + 1x)² − 4

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Tam kareye tamamla: x² − 6x + 11 = (x − 3)² + 2 ≥ 2

Bir kare ifadenin en küçük değeri 0’dır.

x² + x − 4 = 0 ise x² = 4 − x yazılarak yüksek kuvvetler küçültülür.

Örnek: x⁴ = (4 − x)² = 20 − 9x

Aynı birimli iki çokluğun bölümü: ab (b ≠ 0)

Oranın birimi yoktur; farklı birimli çoklukların bölümü (km/saat) “hız” gibi yeni bir büyüklüktür.

İçler çarpımı dışlar çarpımına eşittir.

ab = cd = ef = k ise a = bk, c = dk, e = fk

a + c + eb + d + f = k a · c · eb · d · f = k³

a : b : c = 2 : 3 : 5 ⇒ a = 2k, b = 3k, c = 5k

Örnek: a/3 = b/4, b/2 = c/5 → b ortak: a : b : c = 6 : 8 : 20

Biri artarken diğeri aynı oranda artar.

Doğru orantılı paylaştırma: paylar sayılarla orantılı (2k, 3k, …).

Biri artarken diğeri aynı oranda azalır.

2, 3, 4 ile ters orantılı paylar: k/2, k/3, k/4 → EKOK ile 6t, 4t, 3t.

Örnek: 5 işçi 4 günde 20 iş → 8 işçi 6 günde 20·(8·6)/(5·4) = 48 iş

Toplam = Ortalama × Terim sayısı. Ortalamaya eşit sayı çıkarılırsa ortalama değişmez.

Örnek: 20 kişi ort. 70, 30 kişi ort. 80 → (1400 + 2400)/50 = 76

G.O. = √(a·b) G.O. = ∛(a·b·c)

Aynı yolu farklı hızlarla gidip dönmenin ortalama hızı harmonik ortalamadır.

Eşitlik yalnız sayılar eşitken: A.O. = G.O. ⇔ a = b

1) Bilinmeyeni harfle göster  2) Cümleleri sırasıyla matematik diline çevir  3) Denklemi çöz  4) Sonucu soruya göre yorumla

Ardışık üç sayı: x − 1, x, x + 1 (toplam 3x)

Ortadaki sayıyı x seçmek denklemi kısaltır.

Bütün kesirlerin paydalarının EKOK’u kadar bilinmeyen seçilir.

Örnek: Paranın 1/3’ü sonra kalanın 1/4’ü harcandı → para 12x: 4x, kalan 8x, 2x, kalan 6x

“Kalanın …’ü” deniyorsa her adımda yeni bütün kalan miktardır.

a tane 1 TL, b tane 50 kuruş → toplam a + 0,5b TL

Ağırlık / adet / tutar bilgileri ayrı ayrı denklemlere dönüştürülür.

Kişi başı a verilince b artıyor, c verilince d eksik kalıyorsa: n·a + b = n·c − d

Fatura kademelerinde her dilim kendi fiyatıyla hesaplanıp toplanır; ortalama fiyat = Toplam ücretToplam miktar

İki günde bir / üç günde bir gelen gruplar: gün numarasının 2’ye ve 3’e bölümünden kalana göre gruplara ayrılır.

t dakikada tükenen mumun 1 dakikada 1t’i yanar. Kalan boy: L · (1 − xt)

Zaman ne kadar geçerse geçsin iki kişinin yaş farkı değişmez.

n kişinin yaşları toplamı t yıl sonra n · t artar, t yıl önce n · t azalır.

O tarihte doğmamış olanları sayma!

A, B’nin yaşındayken → A − B yıl önce

B, A’nın yaşına geldiğinde → A − B yıl sonra

Örnek: S, G’nin yaşındayken G, Ö’nün yaşındaydı ⇒ S − G = G − Ö

t yıl sonra ortalama da t artar (kişi sayısı değişmezse).

“Annenin yaşı çocuğunun 3 katı” → A = 3x; ileride kat sayısı azalır, geçmişte artar.

Bir işi t saatte bitiren kişinin 1 saatte yaptığı iş 1t

t = a·ba + b

İkişerli süreler verilirse üç denklem toplanıp 2’ye bölünür.

A, B’nin 3 katı hızlı ise kapasiteler 3k ve k alınır; iş = toplam kapasite × süre

Örnek: Hasan k, Arif 2k, Barış 6k: B + H = 7k · 9 = 63k → hepsi 9k ile 7 saat

Her kişinin çalıştığı süre ayrı ayrı yazılır: t₁a + t₂b = 1

Dolduran musluk (+), boşaltan musluk (−): 1a − 1b = 1t

Musluk havuzun belli bir yüksekliğindeyse o seviyenin altında çalışmaz.

Aynı iş için işçi sayısı ile süre ters orantılıdır: n₁ · t₁ = n₂ · t₂

“A gelmezse işin 1/2’si eksik kalıyor” ⇒ A’nın o sürede yaptığı iş 1/2

Birimler uyumlu olmalı: km–saat, m–dakika. 1 saat = 60 dk.

Zıt yönde aynı anda: x = (V₁ + V₂) · t

Örnek: aradaki yol 300 km, hızlar 60 ve 40 → t = 300/100 = 3 saat

Aynı yönde: x = (V₁ − V₂) · t (x: aradaki mesafe)

Karşılaştıktan sonra varış süreleri t₁ ve t₂ ise karşılaşma süresi:

Aynı yol gidiş–dönüş: 2V₁V₂V₁ + V₂

Zıt yön: her ÇevreV₁ + V₂ sürede karşılaşırlar.

Aynı yön: hızlı olan yavaşa her ÇevreV₁ − V₂ sürede tur bindirir.

V_{akıntı yönü} = V + V_a V_ters = V − V_a

Yürüyen merdivende basamak sayısı = kişinin attığı adım ± merdivenin taşıdığı basamak.

Tren l uzunluklu tüneli tamamen geçerken alınan yol: Tren boyu + Tünel boyu

Yol–zaman grafiğinde eğim = hız; yatay doğru = duruyor. Hız–zaman grafiğinde alan = yol.

Örnek: 80’in %15’i = 80 · 15/100 = 12

%a artış: x · 100 + a100

%a azalış: x · 100 − a100

%20 artış ardından %20 azalış: x · 1,2 · 0,8 = 0,96x → %4 azalır

Ardışık yüzdeler toplanmaz, çarpılır.

Gruplardaki yüzdeler 100x üzerinden sayılara çevrilir; tümleyen kısımlar (çay alan / almayan) ayrı yazılır.

Örnek: Çay alan T, almayan 75 − T: ikisini de almayan 0,8(75 − T) = 20 ⇒ T = 50

Kutuların %25’inde 6, %55’inde 10, %20’sinde 20 sakız varsa ortalama 0,25·6 + 0,55·10 + 0,2·20 = 11

Aksi söylenmedikçe kâr ve zarar yüzdesi maliyet üzerinden hesaplanır.

%a kârla satış: S = M · 100 + a100

%a zararla satış: S = M · 100 − a100

Etiket fiyatı E, %d indirim: E · 100 − d100

İndirim etiket (satış) fiyatı üzerinden yapılır; kâr maliyet üzerinden hesaplanır.

Maliyet 100x alınarak tüm fiyatlar bunun cinsinden yazılır; işlem kısalır.

Örnek: %40 kârla etiket 140x, %25 indirimle 105x → %5 kâr

Toplam kâr yüzdesi = Toplam satış − Toplam maliyetToplam maliyet · 100

Farklı para birimleri aynı birime çevrilip başlangıç ve son değerler karşılaştırılır.

Örnek: 40 000 $ · 6 TL = 240 000 TL; %30 prim → 72 000 TL kazanç

Komisyon / KDV satış fiyatının yüzdesi olarak hesaplanır: K = S · k100

%a tuzlu karışımın x kg’ında a·x/100 kg tuz vardır.

(x kg %a, y kg %b)

Su eklenince madde miktarı değişmez, karışım artar. Buharlaşınca madde değişmez, karışım azalır.

Saf madde %100’lük karışım gibi düşünülür: m + sx + s

Her aktarmada aktarılan kısmın oranı kaynak kaptaki orandır; tablo ile adım adım takip et.

Muslukların akıttığı miktarlar hızlarıyla orantılıdır: 3 saatte ve 6 saatte dolduran musluklar 2 : 1 oranında akıtır.

Su oranı %80 ise madde oranı %20’dir.

Her sütunun yüksekliği değeri gösterir; ekseni ve birimi dikkatle oku (bin, milyon…).

Zamana bağlı değişimi gösterir; eğim artış/azalış hızıdır.

Doğrusal parçalarda değişim sabit hızlıdır, ara değer orantıyla bulunur.

Örnek: 120° → bütünün 1/3’ü

Açıların EBOB’u k alınır: 120°, 80°, 160° → 3k, 2k, 4k

Bir grafikten oran, diğerinden miktar okunur; ortak büyüklük üzerinden eşitlik kurulur.

İlk birkaç adımı yaz, farkları incele: fark sabitse aₙ = a₁ + (n − 1)d

Örnek: 6, 11, 16 → 5n + 1

Olası durumları sistemli listele; koşulu bozanları ele.

En az / en çok sorularında uç durumlardan başla.

1 + 2 + … + n = n(n+1)2 1² + … + n² = n(n+1)(2n+1)6

Son durum verilmişse işlemleri tersten uygula (çarpma ↔ bölme, ekleme ↔ çıkarma).

Her hamlede bir büyüklüğün tek/çiftliği değişiyorsa, hedef durumun tek/çiftliği gereken hamle sayısını belirler.

Doğru (1) ya da yanlış (0) kesin hüküm bildiren ifade. Değili: p′ (p′ ≡ 1 − p)

Soru, ünlem ve kişiye göre değişen ifadeler önerme değildir.

∧ yalnız ikisi doğruyken 1, ∨ yalnız ikisi yanlışken 0.

p ⇒ q yalnız 1 ⇒ 0 durumunda yanlıştır.

p ⇒ q ≡ p′ ∨ q p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

(p ∧ q)′ ≡ p′ ∨ q′ (p ∨ q)′ ≡ p′ ∧ q′

p ∧ 0 ≡ 0 p ∨ 1 ≡ 1 p ∧ p′ ≡ 0 p ∨ p′ ≡ 1

Değişme, birleşme ve dağılma özellikleri ∧ ve ∨ için geçerlidir.

Her durumda 1 olan önerme totoloji, her durumda 0 olan çelişkidir.

(…)′ ∧ p ≡ 1 ise hem p ≡ 1 hem parantez içi ≡ 0 olmalıdır.

∀ : her ∃ : en az bir

(∀x, p(x))′ ≡ ∃x, p′(x)

Liste: {1, 2, 3} · Ortak özellik: {x | x < 4, x ∈ ℕ⁺} · Venn şeması

Kümede aynı eleman tekrar yazılmaz; sıra önemsizdir.

n elemanlı kümenin

alt küme sayısı 2ⁿ öz alt küme 2ⁿ − 1

r elemanlı alt küme C(n, r)

k belirli eleman bulunan, m belirli eleman bulunmayan alt kümeler: 2^{n − k − m}

A ∪ B en az birinde · A ∩ B ikisinde birden

s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − s(A ∩ B)

A \ B = A ∩ B′ s(A′) = s(E) − s(A)

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

A ⊂ B ise A ∩ B = A A ∪ B = B A \ B = ∅

En içten (kesişimden) başlayarak dışa doğru bölgeler doldurulur.

“Yalnız A” ile “A” farklıdır: A, kesişimleri de içerir.

s(A ∩ B) en az = s(A) + s(B) − s(E)

s(A ∩ B) en çok = min(s(A), s(B))

Kesişim x seçilir: “A’dakilerin %40’ı B’de” ⇒ 0,4·s(A) = x

A ⊂ (A ∪ B) ve A ⊂ (A ∪ C) ⇒ A ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Örnek: 3’ün ve 4’ün katları → A yalnız 12’nin katlarından oluşabilir

En az iki: tam 2 + tam 3 · En çok iki: 0 + 1 + 2 · En çok bir: 0 + 1

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d

(a, b) ≠ (b, a) (a ≠ b ise).

s(A × B) = s(A) · s(B)

A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

A × B ≠ B × A (genel olarak)

A × B’nin elemanları koordinat düzleminde noktalardır; aralık verilirse dikdörtgensel bölge oluşur.

Noktaları içeren en küçük çember, dikdörtgenin köşegeni çaplı çemberdir.

A × B’nin 2^s(A)·s(B) alt kümesi vardır.

Veriler sıralanır: n tek ise ortadaki, n çift ise ortadaki iki değerin ortalaması.

En çok tekrar eden değer; birden fazla olabilir ya da hiç olmayabilir.

Sıralı veride alt yarının ortancası Q₁, üst yarının ortancası Q₃: Q₃ − Q₁

Standart sapma küçükse veriler ortalama etrafında toplanmıştır.

Her veriye k eklenirse ortalama, medyan k artar; açıklık ve standart sapma değişmez.

Her veri k ile çarpılırsa hepsi k katına çıkar.

Sütun, çizgi, daire, histogram, kutu grafiği; kutu grafiği en küçük–Q₁–medyan–Q₃–en büyük değerleri gösterir.

Ya / veya → toplama · ve / ardından → çarpma

Örnek: 3 gömlek, 4 pantolon → 3 · 4 = 12 kombin

0! = 1! = 1

n farklı nesneden r tanesinin sıralı dizilişi

n nesnenin tamamı: n!

Yan yana olacaklar tek nesne sayılır, kendi aralarında yer değiştirir.

Örnek: A ile B yan yana, 6 kişi: 5! · 2!

Tümü − Yan yana olanlar veya diğerleri dizilip araya yerleştirilir (boşluk yöntemi).

Örnek: 5 kadın 5 erkek dönüşümlü: 2 · 5! · 5!

k kişinin kendi aralarında sırası belli ise n!k!

Örnek: Defne, Melek’in solunda: 6!/2 = 360

Kolye / anahtarlık gibi ters çevrilebilen dizilişlerde (n − 1)!/2.

İki kişi arasında tam k kişi olacak konum çifti sayısı n − k − 1; iki kişi 2!, diğerleri (n − 2)! şekilde dizilir.

Önce kısıtlı basamaklar (ilk basamak ≠ 0, tek/çift, 5’e bölünme) doldurulur, sonra diğerleri.

“Hiçbiri yan yana olmasın” türü sorularda kullanılır.

Özdeş nesneler içeren n nesnenin dizilişi

Örnek: ANANAS: 6!/(3!·2!) = 60

Belirli özdeşler uçlarda olacaksa önce onlar yerleştirilir, kalan nesnelerin tekrarlı dizilişi bulunur.

Diğerleri dizilir, n + 1 boşluktan istenen sayıda seçilir: (n + 1k)

Örnek: 3 siyah bilye: 6 bilyenin 20 dizilişi · C(7, 3) = 35 → 700

a adım sağa, b adım yukarı: (a + b)!a! · b!

x₁ + … + xₖ = n denkleminin

doğal sayı çözümü (n + k − 1k − 1) · pozitif çözümü (n − 1k − 1)

(x₁ + … + xₖ)ⁿ açılımındaki terim sayısı (n + k − 1k − 1)

Örnek: (x + y + z + t)⁷ → C(10, 3) = 120

Düzensiz diziliş sayısı: D₁ = 0, D₂ = 1, D₃ = 2, D₄ = 9, D₅ = 44

Dₙ = (n − 1)(Dₙ₋₁ + Dₙ₋₂)

Sırasız seçim

(n0) = (nn) = 1 (n1) = n (nr) = (nn − r)

Durumlara ayrılıp toplanır veya Tümü − İstenmeyen alınır.

Örnek: En fazla 2 yabancı: 0 + 1 + 2 yabancılı seçimler

12 kişiden iki adet 6’lık grup (gruplar adsız): (126)2!

Gruplar farklı adlı (A takımı, B takımı) ise 2!’e bölünmez.

X < Y < Z → rakam kümesinden (n3) · X ≤ Y ≤ Z → (n + 23)

n doğru en çok (n2) noktada kesişir.

k paralel doğru: − (k2) · k doğru aynı noktadan: − (k2) + 1

n noktadan (üçü doğrusal değil) (n2) doğru · k tanesi doğrusalsa (n2) − (k2) + 1

(n3) − (k3) (k doğrusal nokta)

Örnek: İki paralel doğruda 4 ve 5 nokta: C(4,2)·5 + C(5,2)·4 = 70

m paralel ve n paralel doğrunun oluşturduğu paralelkenar sayısı: (m2) · (n2)

2 çember: 2 çember – n-gen: 2n iki n-gen: 2n doğru – çember: 2

n kenarlı dışbükey çokgen

Terim sayısı n + 1

Baştan (r + 1). terim: T_r+1 = (nr) x^n−r yʳ

Sondan k. terim = baştan (n + 2 − k). terim.

Değişkenler yerine 1 yazılır: P(1)

Sabit terim: değişkenler yerine 0 (polinom için)

Çift dereceliler = P(1) + P(−1)2 Tek = P(1) − P(−1)2

n çift ise ortanca terim (n2 + 1). terimdir ve en büyük binom katsayısına sahiptir.

Genel terimde x’in kuvveti istenen değere eşitlenir, r bulunur.

Örnek: (x² + 1/x)⁶ → x^{12 − 3r}; sabit terim r = 4 → C(6, 4) = 15

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(∅) = 0, P(E) = 1

“En az bir” sorularında tümleyen ile çöz: 1 − P(hiç).

Ayrık olaylarda kesişim 0’dır.

Örnek: Bir zar ve bir para: 6 ve tura → 1/6 · 1/2 = 1/12

Geri koymadan: her çekilişte toplam azalır · geri koyarak: olasılıklar değişmez.

B olayının gerçekleştiği bilindiğinde örnek uzay B’ye daralır.

Ağaç diyagramında dallar çarpılır, sonuçlar toplanır.

Deneme sayısı arttıkça deneysel olasılık teorik olasılığa yaklaşır.