Temel Kavramlar
Doğru iki yönde sonsuzdur. Doğru parçası [AB] iki uç noktalıdır. Işın [AB bir noktadan başlar, tek yönde sonsuzdur.
Açı: [BA ∪ [BC = ABC açısı m(ABC) = m(B̂) = α
TYT – AYT Geometri
Formülü gör, hareket ettir, soruyla pekiştir.
Her konuda renkli formül kartları, şekli canlı değişen animasyonlar ve anında puanlanan seçme sorular. İstediğin konuyu seç.
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Doğruda Açılar
Açı çeşitleri, paralel doğrularda açılar ve kırık çizgi kuralları.
Açıortay
Bir açıyı iki eş parçaya bölen ışındır.
[BD açıortay ⇒ m(ABD) = m(DBC)
Açı Çeşitleri
Dar: 0° < α < 90° · Dik: 90° · Geniş: 90° < α < 180° · Doğru: 180° · Tam: 360°
Tümler ve Bütünler Açılar
Toplamı 90° → tümler Toplamı 180° → bütünler
α’nın tümleri = 90° − α bütünleri = 180° − α
Paralel Doğrularda Açılar
d₁ // d₂ ve bir kesen ile oluşan açılar:
Ters: a = c, b = d · Yöndeş: a = x, b = y · İç ters: c = x, d = y · Dış ters: a = z, b = t
Karşı durumlu: c + y = 180°, d + x = 180°
Kural için iki doğru paralel olmalı ve üçüncü bir doğru bunları kesmeli. Ters açılar için paralellik gerekmez.
Kırık Çizgi: Aynı Yöne Bakan Açılar
x + y + z = 360°
n açı için: a₁ + a₂ + … + aₙ = (n − 1) · 180°
Kırık Çizgi: Z ve Ok Kuralı
d₁ // d₂ ⇒ α = a + b
Zikzakta: a + b + c = x + y (sağa bakanlar = sola bakanlar)
Kural uygulanmıyorsa paralelleri uzat veya köşelerden yeni paralel çiz.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: E) 78
Üç ışın da sağa bakıyor. A’ya giden doğru parçalarının sağa bakan ışınla yaptığı açılar: B’de θ, D’de β, F’de α.
Paralellikten m(BAD) = β − θ ve m(DAF) = α − β olur.
m(BAD) = m(DAF) ⇒ β − θ = α − β ⇒ β = α + θ2 = 156°2 = 78°
Üç ışın da sağa bakıyor. A’ya giden doğru parçalarının sağa bakan ışınla yaptığı açılar: B’de θ, D’de β, F’de α.
Paralellikten m(BAD) = β − θ ve m(DAF) = α − β olur.
m(BAD) = m(DAF) ⇒ β − θ = α − β ⇒ β = α + θ2 = 156°2 = 78°
Çözümü göster
Cevap: D) 130
d₁ // d₂ ve kırık çizgi kuralı (açılar aynı yöne bakan paraleller arasında): c = a + b.
a − b = c − 20 = a + b − 20 ⇒ 2b = 20 ⇒ b = 10°.
2a + b = 250 ⇒ a = 120° ⇒ c = 120 + 10 = 130°
d₁ // d₂ ve kırık çizgi kuralı (açılar aynı yöne bakan paraleller arasında): c = a + b.
a − b = c − 20 = a + b − 20 ⇒ 2b = 20 ⇒ b = 10°.
2a + b = 250 ⇒ a = 120° ⇒ c = 120 + 10 = 130°
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Üçgende Açılar
İç–dış açı, ikizkenar ve eşkenar üçgen, muhteşem üçlü, açıortay kuralları.
İç ve Dış Açılar
x + y + z = 180° α + β + θ = 360°
Bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır:
α = y + z, β = x + z, θ = x + y
Ok (İç Bükey Dörtgen) Kuralı
m(BCD) = a + b + c
“İki iç açının toplamı bir dış açıya eşit” bilgisini kullanmak çözümü hızlandırır.
İkizkenar Üçgen ve Simetri Ekseni
|AB| = |AC| ⇒ m(B̂) = m(Ĉ)
Tepeden çizilen yükseklik, aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. Bu üç özellikten ikisi sağlanıyorsa üçgen ikizkenardır.
Eşkenar Üçgen
Tüm açılar 60°, tüm kenarlar eşit
Köşelerden çizilen dikmeler hem açıortay hem kenarortaydır; 30°’lik açılar oluşur.
Dik Üçgen ve Muhteşem Üçlü
m(Â) = 90° ⇒ α + β = 90°
Hipotenüse ait kenarortay: |AD| = |BD| = |DC| = |BC|2
Muhteşem üçlü üç ikizkenar üçgen doğurur: ABD ve ADC.
İki İç Açıortay
İç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir; bu nokta kenarlara eşit uzaklıktadır.
α = 90° + m(Â)2
Bir İç ve Bir Dış Açıortay
α = m(Â)2
B’den iç, C’den dış açıortay çizilir; kesişme açısı tepe açısının yarısıdır.
İki Dış Açıortay
α = 90° − m(Â)2
D, dış teğet çemberin merkezidir; üçüncü köşeden geçen [AD] iç açıortaydır.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: C) 115
|BH| = |HC| ve EH ⊥ BC ⇒ EH, BC’nin orta dikmesi ⇒ |EB| = |EC| ⇒ m(EBC) = m(C) = c.
m(B) = 50 + c, m(A) = 180 − (50 + c) − c = 130 − 2c.
|AB| = |AD| ⇒ m(ABD) = 180 − m(A)2 = 25 + c ⇒ m(DBC) = (50 + c) − (25 + c) = 25°.
BFH dik üçgeninde m(BFH) = 90 − 25 = 65° ⇒ x = 180 − 65 = 115°
|BH| = |HC| ve EH ⊥ BC ⇒ EH, BC’nin orta dikmesi ⇒ |EB| = |EC| ⇒ m(EBC) = m(C) = c.
m(B) = 50 + c, m(A) = 180 − (50 + c) − c = 130 − 2c.
|AB| = |AD| ⇒ m(ABD) = 180 − m(A)2 = 25 + c ⇒ m(DBC) = (50 + c) − (25 + c) = 25°.
BFH dik üçgeninde m(BFH) = 90 − 25 = 65° ⇒ x = 180 − 65 = 115°
Çözümü göster
Cevap: B) 90
Katlamada m(DBC′) = m(DBC) = β ve m(C′) = m(C).
AB // C′D ve BC′ kesen ⇒ m(ABE) = m(BC′D) = m(C) (iç ters).
m(B) = m(C) + 2β = m(C) + 40 ⇒ β = 20°, m(EBC) = 40°.
EBC üçgeninde m(BEC) = 180 − 40 − m(C) = 115 ⇒ m(C) = 25°, m(B) = 65° ⇒ m(BAC) = 90°
Katlamada m(DBC′) = m(DBC) = β ve m(C′) = m(C).
AB // C′D ve BC′ kesen ⇒ m(ABE) = m(BC′D) = m(C) (iç ters).
m(B) = m(C) + 2β = m(C) + 40 ⇒ β = 20°, m(EBC) = 40°.
EBC üçgeninde m(BEC) = 180 − 40 − m(C) = 115 ⇒ m(C) = 25°, m(B) = 65° ⇒ m(BAC) = 90°
Çözümü göster
Cevap: B) 67,5
1. katlama: A, B’den geçen eksenle D’ye gidiyor ⇒ |BA| = |BD|.
2. katlama: BD boyunca A, [BC] üzerine düşüyor ⇒ BD açıortay: m(ABD) = m(DBC) = β.
ABD ikizkenar: m(A) = m(ADB) = 180 − β2. ADB, DBC üçgeninin dış açısı: m(ADB) = β + m(C).
m(A) = 3m(C) ⇒ β + C = 3C ⇒ β = 2C ⇒ 180 − 2C2 = 3C ⇒ C = 22,5° ⇒ m(A) = 67,5°
1. katlama: A, B’den geçen eksenle D’ye gidiyor ⇒ |BA| = |BD|.
2. katlama: BD boyunca A, [BC] üzerine düşüyor ⇒ BD açıortay: m(ABD) = m(DBC) = β.
ABD ikizkenar: m(A) = m(ADB) = 180 − β2. ADB, DBC üçgeninin dış açısı: m(ADB) = β + m(C).
m(A) = 3m(C) ⇒ β + C = 3C ⇒ β = 2C ⇒ 180 − 2C2 = 3C ⇒ C = 22,5° ⇒ m(A) = 67,5°
Çözümü göster
Cevap: C) 30
m(C) = 90 − 42 = 48°. [AC]’nin orta noktası M olsun: muhteşem üçlüden |BM| = |MC| = |AC|/2 = |BD|.
m(MBC) = m(C) = 48° ⇒ m(MBD) = 48 + 12 = 60°, |BM| = |BD| ⇒ MBD eşkenar ⇒ |MD| = |MC|.
m(BMC) = 180 − 2·48 = 84° ⇒ m(DMC) = 84 − 60 = 24° ⇒ m(MCD) = (180 − 24)/2 = 78°.
x = m(MCD) − m(MCB) = 78 − 48 = 30°
m(C) = 90 − 42 = 48°. [AC]’nin orta noktası M olsun: muhteşem üçlüden |BM| = |MC| = |AC|/2 = |BD|.
m(MBC) = m(C) = 48° ⇒ m(MBD) = 48 + 12 = 60°, |BM| = |BD| ⇒ MBD eşkenar ⇒ |MD| = |MC|.
m(BMC) = 180 − 2·48 = 84° ⇒ m(DMC) = 84 − 60 = 24° ⇒ m(MCD) = (180 − 24)/2 = 78°.
x = m(MCD) − m(MCB) = 78 − 48 = 30°
Çözümü göster
Cevap: C) 75
CK ve DK dış açıortay ⇒ K, ACD üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi; [AK] iç açıortay.
İki dış açıortay kuralı: m(CKD) = 90 − m(CAD)2 = 75 ⇒ m(CAD) = 30° ⇒ m(DAK) = 15°.
m(BAD) = m(DAK) = 15°. ABD dik üçgeninde x = 90 − 15 = 75°
CK ve DK dış açıortay ⇒ K, ACD üçgeninin dış teğet çemberinin merkezi; [AK] iç açıortay.
İki dış açıortay kuralı: m(CKD) = 90 − m(CAD)2 = 75 ⇒ m(CAD) = 30° ⇒ m(DAK) = 15°.
m(BAD) = m(DAK) = 15°. ABD dik üçgeninde x = 90 − 15 = 75°
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Dik Üçgen
Pisagor, özel dik üçgenler, Öklid bağıntıları ve özel açılı üçgenler.
Pisagor Bağıntısı
Dik kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
a² = b² + c²
Yardımcı özdeşlik: x² − y² = (x − y)(x + y)
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler
3–4–5 · 5–12–13 · 8–15–17 · 7–24–25 · 9–40–41
k – 2k – k√5 · k – 3k – k√10
Katları da geçerlidir: 6–8–10, 9–12–15, 10–24–26 …
Öklid Bağıntıları
[AB] ⊥ [AC] ve [AH] ⊥ [BC] iken:
h² = p · k c² = p · a b² = k · a a · h = b · c
Ok yönüyle hatırla: kenarın karesi = kendi altındaki parça × hipotenüs.
45° – 45° – 90° Üçgeni
a, a, a√2
Hipotenüs, 45°’nin karşısındaki kenarın √2 katıdır.
30° – 60° – 90° Üçgeni
a (30° karşısı), a√3 (60° karşısı), 2a (hipotenüs)
30°, 45° ya da 60° verildiyse diklik yoksa uygun yere dikme in.
30° – 30° – 120° İkizkenar Üçgeni
a, a, a√3
120°’nin karşısındaki kenar, 30°’nin karşısındakinin √3 katıdır.
120°, 135°, 150° açılarda kollardan birini uzatıp dışarıdan dikme in.
15° – 75° – 90° Üçgeni
Hipotenüs = 4 · h
Hipotenüs, hipotenüse ait yüksekliğin 4 katıdır.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: A) 13
AD ve BC, AB’ye dik ⇒ paralel. |AB| = h olsun.
ABC: h² + x² = 14² = 196. D’den BC’ye dikme: h² + (x − 10)² = 6² = 36.
Taraf tarafa çıkarırsak: x² − (x − 10)² = 160 ⇒ 20x − 100 = 160 ⇒ x = 13
AD ve BC, AB’ye dik ⇒ paralel. |AB| = h olsun.
ABC: h² + x² = 14² = 196. D’den BC’ye dikme: h² + (x − 10)² = 6² = 36.
Taraf tarafa çıkarırsak: x² − (x − 10)² = 160 ⇒ 20x − 100 = 160 ⇒ x = 13
Çözümü göster
Cevap: D) 4
Bir dakikada alınan yollar 19, 13 ve 17 m. |CH| > |BC| = 12 ve en kısa yol CH olmalı ⇒ |CH| = 13.
|BH|² = 13² − 12² = 25 ⇒ |BH| = 5 ⇒ C→B→H yolu = 12 + 5 = 17 ✓. Kalan C→A→H yolu = 19.
|AH| = t ⇒ |AC| = 19 − t, |AB| = 5 + t. Pisagor: (19 − t)² = 12² + (5 + t)²
361 − 38t = 169 + 10t ⇒ 48t = 192 ⇒ |AH| = 4 m
Bir dakikada alınan yollar 19, 13 ve 17 m. |CH| > |BC| = 12 ve en kısa yol CH olmalı ⇒ |CH| = 13.
|BH|² = 13² − 12² = 25 ⇒ |BH| = 5 ⇒ C→B→H yolu = 12 + 5 = 17 ✓. Kalan C→A→H yolu = 19.
|AH| = t ⇒ |AC| = 19 − t, |AB| = 5 + t. Pisagor: (19 − t)² = 12² + (5 + t)²
361 − 38t = 169 + 10t ⇒ 48t = 192 ⇒ |AH| = 4 m
Çözümü göster
Cevap: C) 20
Üçgen eşitsizliği: ||AK| − |KD|| ≤ |AD|. Eşitlik, K noktası AD doğrusunun BC ile kesiştiği noktada olur.
A ve D’den BC’ye dikmeler 18 ve 6; D’den AB’ye dikme çizersek: dik kenarlar 16 ve 18 − 6 = 12.
|AD|² = 16² + 12² = 400 ⇒ en büyük değer |AD| = 20 br (12–16–20 = 3–4–5’in 4 katı)
Üçgen eşitsizliği: ||AK| − |KD|| ≤ |AD|. Eşitlik, K noktası AD doğrusunun BC ile kesiştiği noktada olur.
A ve D’den BC’ye dikmeler 18 ve 6; D’den AB’ye dikme çizersek: dik kenarlar 16 ve 18 − 6 = 12.
|AD|² = 16² + 12² = 400 ⇒ en büyük değer |AD| = 20 br (12–16–20 = 3–4–5’in 4 katı)
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Trigonometri
Trigonometrik oranlar, temel özdeşlikler, birim çember ve özel açılar.
Trigonometrik Oranlar
sin x = karşıhipotenüs cos x = komşuhipotenüs
tan x = karşıkomşu cot x = komşukarşı
Açı dik üçgende değilse, uygun bir dikme indirerek dik üçgen oluştur.
Tümler Açılar
x + y = 90° ise:
sin x = cos y = ca cos x = sin y = ba
tan x = cot y = cb cot x = tan y = bc
Temel Özdeşlikler
sin²x + cos²x = 1 tan x · cot x = 1
tan x = sin xcos x cot x = cos xsin x
90° − x: sin ↔ cos, tan ↔ cot · 180° − x: sin aynı, cos/tan/cot işaret değiştirir
Birim Çember
Merkezi orijinde, yarıçapı 1 olan çember. Açının bitim kenarının çemberi kestiği nokta:
P(cos α, sin α)
x ekseni kosinüs, y ekseni sinüs eksenidir. II. bölgede (90°–180°) cos negatif, sin pozitif.
Özel Açıların Oranları
Bu tablo özel dik üçgenlerden (30–60–90, 45–45–90) ve birim çemberden çıkar; ezberlemek yerine üçgeni çizerek bulabilirsin.
sin 180°−x = sin x olduğu için 120° ↔ 60°, 135° ↔ 45°, 150° ↔ 30° aynı sinüse sahiptir.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: A) 1,2
D ile P arasındaki düşey fark 5 − 2,5 = 2,5 m. DPC açısı α düşeyle yapıldığından |DP|·cosα = 2,5 ⇒ |DP| = 2,5·(12/5) = 6.
İp 7,5 m ⇒ |AP| = 1,5. A ile P arasındaki düşey fark 3,4 − 2,5 = 0,9.
Yatay uzaklık = √(1,5² − 0,9²) = √1,44 = 1,2 m
D ile P arasındaki düşey fark 5 − 2,5 = 2,5 m. DPC açısı α düşeyle yapıldığından |DP|·cosα = 2,5 ⇒ |DP| = 2,5·(12/5) = 6.
İp 7,5 m ⇒ |AP| = 1,5. A ile P arasındaki düşey fark 3,4 − 2,5 = 0,9.
Yatay uzaklık = √(1,5² − 0,9²) = √1,44 = 1,2 m
Çözümü göster
Cevap: D) 4/3
tan x = 1/2 ise |AB| = 1, |BC| = 2 alalım. tan 2x = 2 tan x1 − tan²x = 13/4 = 43
tan x = 1/2 ise |AB| = 1, |BC| = 2 alalım. tan 2x = 2 tan x1 − tan²x = 13/4 = 43
Konu
PDF kitapçığı aç ↗İkizkenar – Eşkenar
Simetri ekseni, tabandan paraleller ve dikmeler, eşkenar üçgen özellikleri.
İkizkenar Üçgen
|AB| = |AC| ⇔ m(B̂) = m(Ĉ)
Simetri ekseni: Tepeden çizilen yükseklik = açıortay = kenarortay. Bu üçünden ikisi çakışıyorsa üçgen ikizkenardır.
Eşit Kenarların Yardımcı Elemanları
Eşit kenarlara ait yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar eşittir.
|AB| = |AC| ⇒ |BK| = |CH|
Tabandan Çizilen Paraleller
Tabandaki bir noktadan eşit kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir eşit kenara eşittir.
|DE| + |DF| = |AB| = |AC|
Oluşan küçük üçgenler de ikizkenardır.
Tabandan Çizilen Dikmeler
Tabandaki bir noktadan eşit kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, eşit kenara ait yüksekliğe eşittir.
|DE| + |DF| = |CH|
Eşkenar Üçgen
h = a√32
Tüm açılar 60°. Her köşeden çizilen yükseklik hem açıortay hem kenarortaydır; 30–60–90 üçgenleri oluşur.
Eşkenar İçinde Paraleller
İç bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenara eşittir.
x + y + z = a
Eşkenar İçinde Dikmeler
İç bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin toplamı yüksekliğe eşittir (nokta nerede olursa olsun).
|KD| + |KE| + |KF| = h = a√32
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: C) 10
|AC| = |BC| = x ⇒ |HC| = x − 4. CE, AHC üçgeninde C açısının açıortayı:
|AE||EH| = xx − 4 ⇒ |EH| = 5(x − 4)x, |AH| = 10(x − 2)x.
AHC ve AHB’den |AH|² = x² − (x − 4)² = 8x − 16 = 8(x − 2).
100(x − 2)²/x² = 8(x − 2) ⇒ 2x² − 25x + 50 = 0 ⇒ x = 10 (x = 2,5 olamaz). |AC| = 10
|AC| = |BC| = x ⇒ |HC| = x − 4. CE, AHC üçgeninde C açısının açıortayı:
|AE||EH| = xx − 4 ⇒ |EH| = 5(x − 4)x, |AH| = 10(x − 2)x.
AHC ve AHB’den |AH|² = x² − (x − 4)² = 8x − 16 = 8(x − 2).
100(x − 2)²/x² = 8(x − 2) ⇒ 2x² − 25x + 50 = 0 ⇒ x = 10 (x = 2,5 olamaz). |AC| = 10
Çözümü göster
Cevap: A) 13
Kırmızı BDC parçası C etrafında 60° döndürülerek B, A’ya taşınmış: A D′ C, BDC’nin eşi ⇒ |AD′| = 12, |CD′| = |CD| = 5, m(AD′C) = 150°.
|CD| = |CD′| ve m(DCD′) = 60° ⇒ DCD′ eşkenar ⇒ m(CD′D) = 60°.
m(AD′D) = 150° − 60° = 90° ⇒ |AD|² = 12² + 5² = 169 ⇒ |AD| = 13
Kırmızı BDC parçası C etrafında 60° döndürülerek B, A’ya taşınmış: A D′ C, BDC’nin eşi ⇒ |AD′| = 12, |CD′| = |CD| = 5, m(AD′C) = 150°.
|CD| = |CD′| ve m(DCD′) = 60° ⇒ DCD′ eşkenar ⇒ m(CD′D) = 60°.
m(AD′D) = 150° − 60° = 90° ⇒ |AD|² = 12² + 5² = 169 ⇒ |AD| = 13
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Açıortay
İç ve dış açıortay teoremleri, açıortay üzerindeki dikmeler.
Açıortay ve Dikmeler
Açıortay üzerindeki her nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır.
P açıortayda ⇒ |PE| = |PF|
Açıortay, bulunduğu açının simetri eksenidir: kolları üzerinde eşit uzaklıktaki noktalar birbirinin simetriğidir (katlama soruları).
İç Açıortay Teoremi
İç açıortay karşı kenarı, diğer iki kenarla orantılı parçalara ayırır.
cb = xy
Dış Açıortay Teoremi
Dış açıortay karşı kenarın uzantısını kenarlarla orantılı böler.
xy = bc
İç ve dış açıortay birbirine diktir.
Açıortay ve Gizli İkizkenar
Açıortay bir paralelle kesişirse eşit açılar ikizkenar üçgen oluşturur.
Açıortaya dik çizilen doğru da ikizkenar üçgen verir (açıortay = yükseklik).
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: D) 12
Kosinüs teoremi: 14² = 16² + a² − 16a ⇒ a² − 16a + 60 = 0 ⇒ a = 6 veya 10. C açısı dar olmalı ⇒ |BC| = 10.
Katlamada C, [AB] üzerine düştüğüne göre AD açıortay: |BD| : |DC| = 16 : 14 ⇒ |BD| = 16/3, |DC| = 14/3.
|AC′| = 14 ⇒ |BC′| = 2, |C′D| = |CD| = 14/3. Ç(DBC′) = 16/3 + 2 + 14/3 = 12
Kosinüs teoremi: 14² = 16² + a² − 16a ⇒ a² − 16a + 60 = 0 ⇒ a = 6 veya 10. C açısı dar olmalı ⇒ |BC| = 10.
Katlamada C, [AB] üzerine düştüğüne göre AD açıortay: |BD| : |DC| = 16 : 14 ⇒ |BD| = 16/3, |DC| = 14/3.
|AC′| = 14 ⇒ |BC′| = 2, |C′D| = |CD| = 14/3. Ç(DBC′) = 16/3 + 2 + 14/3 = 12
Çözümü göster
Cevap: C) 4√10
A açısının açıortayı [AD] çizilsin: m(DAC) = α = m(C) ⇒ ADC ikizkenar, |AD| = |DC|.
m(BAD) = α = m(C) ve B ortak ⇒ ABD ∼ CBA ⇒ |AB|² = |BD|·|BC|.
İç açıortay: |BD| : |DC| = 8 : 12 ⇒ |BD| = 2x/5. 64 = (2x/5)·x ⇒ x² = 160 ⇒ x = 4√10
A açısının açıortayı [AD] çizilsin: m(DAC) = α = m(C) ⇒ ADC ikizkenar, |AD| = |DC|.
m(BAD) = α = m(C) ve B ortak ⇒ ABD ∼ CBA ⇒ |AB|² = |BD|·|BC|.
İç açıortay: |BD| : |DC| = 8 : 12 ⇒ |BD| = 2x/5. 64 = (2x/5)·x ⇒ x² = 160 ⇒ x = 4√10
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Kenarortay
Ağırlık merkezi ve 2 : 1 oranı, dik üçgende kenarortay.
Kenarortay
Bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasıdır.
|BD| = |DC| ⇒ [AD] = Vₐ
Ağırlık Merkezi (G)
Üç kenarortay tek noktada kesişir: ağırlık merkezi G. G her kenarortayı köşeden itibaren 2 : 1 oranında böler.
|AG| = 2·|GD| ⇒ |AG| = 23·Vₐ
Gizli Ağırlık Merkezi
İki kenarortay kesişiyorsa ya da bir kenarortayı 2 : 1 oranında bölen nokta varsa o nokta ağırlık merkezidir.
G, ABC’nin orta noktalarıyla oluşan DEF üçgeninin de ağırlık merkezidir.
Dik Üçgende Kenarortay
m(B̂) = 90° ⇒ |BD| = |AD| = |DC| = |AC|2
Dik köşeden çizilen kenarortay: |BG| = |AC|3
[BG] ⊥ [CG] ise |AG| = |BC| olur.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: A) 14
C(0,0), B(−24, 0), A(0, 18) ⇒ G = (−8, 6) ⇒ |CG| = 10.
Döndürmede [BC] kenarı G’den geçince B′, CG ışını üzerinde ve |CB′| = 24 olur.
|B′G| = 24 − 10 = 14
C(0,0), B(−24, 0), A(0, 18) ⇒ G = (−8, 6) ⇒ |CG| = 10.
Döndürmede [BC] kenarı G’den geçince B′, CG ışını üzerinde ve |CB′| = 24 olur.
|B′G| = 24 − 10 = 14
Çözümü göster
Cevap: C) 8
D’yi orijin, AC’yi x ekseni al: A(−2, 0), C(10, 0), B = x(cosθ, sinθ). G = ((x cosθ + 8)/3, x sinθ/3).
DG, BDC açısının açıortayı ⇒ G’nin açısı θ/2: x sinθx cosθ + 8 = tan(θ/2) = sinθ1 + cosθ
x + x cosθ = x cosθ + 8 ⇒ |BD| = 8
D’yi orijin, AC’yi x ekseni al: A(−2, 0), C(10, 0), B = x(cosθ, sinθ). G = ((x cosθ + 8)/3, x sinθ/3).
DG, BDC açısının açıortayı ⇒ G’nin açısı θ/2: x sinθx cosθ + 8 = tan(θ/2) = sinθ1 + cosθ
x + x cosθ = x cosθ + 8 ⇒ |BD| = 8
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Merkezler
İç teğet, dış teğet, diklik ve çevrel çemberin merkezleri.
İç Teğet Çemberin Merkezi
İç açıortaylar tek noktada kesişir: iç teğet çemberin merkezi I. I kenarlara eşit uzaklıktadır (r).
İki iç açıortayın kesiştiği noktadan üçüncü açıortay da geçer.
Dış Teğet Çemberin Merkezi
İki dış açıortay ile üçüncü köşenin iç açıortayı tek noktada kesişir: dış teğet çemberin merkezi.
Her üçgenin 1 iç teğet, 3 dış teğet çemberi vardır.
Diklik Merkezi (H)
Yüksekliklerin kesim noktasıdır.
Dar açılı: içeride · Dik üçgen: dik köşede · Geniş açılı: dışarıda
İki yüksekliğin kesiştiği noktadan üçüncü köşeye çizilen doğru, üçüncü yüksekliktir.
Çevrel Çemberin Merkezi (O)
Kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır; köşelere eşit uzaklıktadır.
|OA| = |OB| = |OC| = R
Dar açılı: içeride · Dik üçgen: hipotenüsün ortasında · Geniş açılı: dışarıda
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: C) 2√6
D diklik merkezi ⇒ AD ⊥ BC ve CD ⊥ AB. m(DAC) = 90° − m(C) = 15° ⇒ m(C) = 75°; m(DCA) = 90° − m(A) = 30° ⇒ m(A) = 60°.
|BC| = 2R·sinA ⇒ 6√2 = R√3 ⇒ R = 2√6.
Köşenin diklik merkezine uzaklığı |AD| = 2R·cosA = 4√6 · ½ = 2√6
D diklik merkezi ⇒ AD ⊥ BC ve CD ⊥ AB. m(DAC) = 90° − m(C) = 15° ⇒ m(C) = 75°; m(DCA) = 90° − m(A) = 30° ⇒ m(A) = 60°.
|BC| = 2R·sinA ⇒ 6√2 = R√3 ⇒ R = 2√6.
Köşenin diklik merkezine uzaklığı |AD| = 2R·cosA = 4√6 · ½ = 2√6
Çözümü göster
Cevap: D) 30
EF, BC’nin orta dikmesi ⇒ |EB| = |EC|, m(FEC) = 50° ⇒ m(C) = 40°, m(BEC) = 100°.
DE, ADC açısını iki eşit parçaya böler ⇒ DE, DBC üçgeninde D’nin dış açıortayıdır.
Dış açıortay ile BC’nin orta dikmesi çevrel çember üzerinde kesişir ⇒ D, B, C, E çembersel ⇒ m(BDC) = m(BEC) = 100°.
DBC üçgeninde: 50° + 100° + α = 180° ⇒ α = 30°
EF, BC’nin orta dikmesi ⇒ |EB| = |EC|, m(FEC) = 50° ⇒ m(C) = 40°, m(BEC) = 100°.
DE, ADC açısını iki eşit parçaya böler ⇒ DE, DBC üçgeninde D’nin dış açıortayıdır.
Dış açıortay ile BC’nin orta dikmesi çevrel çember üzerinde kesişir ⇒ D, B, C, E çembersel ⇒ m(BDC) = m(BEC) = 100°.
DBC üçgeninde: 50° + 100° + α = 180° ⇒ α = 30°
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Üçgende Benzerlik
A.A., K.A.K., K.K.K., temel benzerlik, kelebek ve Thales teoremi.
Benzerlik Tanımı
Açıları eşit, kenarları orantılı üçgenlere benzer üçgenler denir. Orana benzerlik oranı (k) denir.
△ABC ∼ △DEF ⇒ ad = be = cf = k
m(Â) = m(D̂), m(B̂) = m(Ê), m(Ĉ) = m(F̂)
Eşkenar üçgenler, kareler, çemberler, aynı kenar sayılı düzgün çokgenler her zaman benzerdir.
Açı – Açı (A.A.) Benzerliği
İki açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşittir; üçgenler benzerdir.
m(B̂) = m(Ê) ve m(Ĉ) = m(F̂) ⇒ △ABC ∼ △DEF
|AB||DE| = |BC||EF| = |AC||DF| = k
Eşit açılar aynı sırayla yazılır. İç içe üçgenlerde ortak açıyı ara; dik üçgenlerde 90°’ler eşit açıdır.
Kenar – Açı – Kenar (K.A.K.)
Birer açısı eşit ve bu açıyı oluşturan kenarları orantılı ise üçgenler benzerdir.
m(Â) = m(D̂) ve be = cf ⇒ △ABC ∼ △DEF
Üçüncü kenarların oranı (a/d) da k’ya eşittir.
Kenar – Kenar – Kenar (K.K.K.)
Üç kenarı da orantılı olan üçgenler benzerdir.
ad = be = cf ⇒ △ABC ∼ △DEF
Eş Üçgenler
Benzerlik oranı k = 1 olan benzer üçgenler eş üçgenlerdir.
k = 1 ⇒ △ABC ≅ △DEF
Temel Benzerlik Teoremi
[DE] // [BC] ⇒ △ADE ∼ △ABC
|AD||AB| = |AE||AC| = |DE||BC| = k
Dikkat: paydada küçük parça değil, tüm kenar (|AB|, |AC|) var.
Temel Orantı Teoremi
Bir kenara paralel doğru, diğer iki kenarı orantılı parçalara ayırır.
|AD||DB| = |AE||EC| ve |AD||AE| = |DB||EC|
Parça oranında DE/BC yazılmaz; DE/BC = AD/AB’dir.
Kelebek Benzerliği
[AB] // [DE], [AE] ∩ [BD] = {C} ⇒ △ABC ∼ △EDC
|AB||DE| = |AC||CE| = |BC||DC| = k
Yardımcı Elemanların Oranı
Benzer üçgenlerde karşılıklı yükseklik, açıortay, kenarortay ve çevre oranı da k’dır.
hₐhd = nₐnd = VₐVd = Ç(ABC)Ç(DEF) = k
Thales Teoremi (Paralel Doğrular)
Paralel doğrular, kesenleri orantılı parçalara ayırır.
ab = cd = y − xz − y
Yamuk sorularında orta paraleli bulmak için çok kullanışlıdır.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: A) 6
m(ADB) + m(ADC) = 180° olduğundan m(ADC) = m(BAC). C açısı ortak → A.A.: △CAD ∼ △CBA.
|CA||CB| = |CD||CA| ⇒ x² = 4·9 = 36 ⇒ x = 6
m(ADB) + m(ADC) = 180° olduğundan m(ADC) = m(BAC). C açısı ortak → A.A.: △CAD ∼ △CBA.
|CA||CB| = |CD||CA| ⇒ x² = 4·9 = 36 ⇒ x = 6
Çözümü göster
Cevap: B) 72/7
B’yi orijin alalım; |BD| = d. EC doğrusu: y = 8 + 4t, AF doğrusu: y = 16 − 10t (t = yatay uzaklık / d).
8 + 4t = 16 − 10t ⇒ t = 47 ⇒ y = 8 + 167 = 727 br
Not: Cevap direkler arası uzaklıktan bağımsızdır.
B’yi orijin alalım; |BD| = d. EC doğrusu: y = 8 + 4t, AF doğrusu: y = 16 − 10t (t = yatay uzaklık / d).
8 + 4t = 16 − 10t ⇒ t = 47 ⇒ y = 8 + 167 = 727 br
Not: Cevap direkler arası uzaklıktan bağımsızdır.
Çözümü göster
Cevap: E) 6
m(EAC) = m(ABC), C ortak → △CAE ∼ △CBA.
|CA||CB| = |CE||CA| ⇒ 144 = 8·|CB| ⇒ |CB| = 18 ve |AE||AB| = 1218 ⇒ |AB| = 12.
|BE| = 18 − 8 = 10. [AD], ABE üçgeninde açıortay: x10 − x = 128 ⇒ x = 6
m(EAC) = m(ABC), C ortak → △CAE ∼ △CBA.
|CA||CB| = |CE||CA| ⇒ 144 = 8·|CB| ⇒ |CB| = 18 ve |AE||AB| = 1218 ⇒ |AB| = 12.
|BE| = 18 − 8 = 10. [AD], ABE üçgeninde açıortay: x10 − x = 128 ⇒ x = 6
Çözümü göster
Cevap: E) 14
E’den [BC]’ye dikme EH çizelim: E, AC’nin orta noktası olduğundan |EH| = |AD|/2 = |BE|/2 ⇒ m(EBC) = 30°.
BDF dik üçgeninde |FD| = |BF|/2. |AD| = |BE| ⇒ 8 + |BF|/2 = |BF| + 5 ⇒ |BF| = 6, |FD| = 3, |AD| = 11.
|BD| = 3√3, |BH| = 11·cos30° = 11√3/2 ⇒ |DH| = 5√3/2 ⇒ |DC| = 5√3.
|AC|² = 11² + (5√3)² = 121 + 75 = 196 ⇒ |AC| = 14
E’den [BC]’ye dikme EH çizelim: E, AC’nin orta noktası olduğundan |EH| = |AD|/2 = |BE|/2 ⇒ m(EBC) = 30°.
BDF dik üçgeninde |FD| = |BF|/2. |AD| = |BE| ⇒ 8 + |BF|/2 = |BF| + 5 ⇒ |BF| = 6, |FD| = 3, |AD| = 11.
|BD| = 3√3, |BH| = 11·cos30° = 11√3/2 ⇒ |DH| = 5√3/2 ⇒ |DC| = 5√3.
|AC|² = 11² + (5√3)² = 121 + 75 = 196 ⇒ |AC| = 14
Çözümü göster
Cevap: D) 21/10
|BC| = 15. ABC’de sin(ABC) = 9/15 = 3/5, tan(ABC) = 3/4.
m(CBD) = 90° − m(ABC) ⇒ BED dik üçgeninde |BE| = 10·cos(CBD) = 10·(3/5) = 6, |ED| = 8.
Katlamada m(FBC) = m(ABC) ⇒ BEG dik üçgeninde |EG| = 6·tan(ABC) = 6·(3/4) = 4,5 ⇒ |GD| = 3,5.
G’nin [BD]’ye uzaklığı = |GD|·sin(EDB) = 3,5 · 610 = 2110 cm
|BC| = 15. ABC’de sin(ABC) = 9/15 = 3/5, tan(ABC) = 3/4.
m(CBD) = 90° − m(ABC) ⇒ BED dik üçgeninde |BE| = 10·cos(CBD) = 10·(3/5) = 6, |ED| = 8.
Katlamada m(FBC) = m(ABC) ⇒ BEG dik üçgeninde |EG| = 6·tan(ABC) = 6·(3/4) = 4,5 ⇒ |GD| = 3,5.
G’nin [BD]’ye uzaklığı = |GD|·sin(EDB) = 3,5 · 610 = 2110 cm
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Üçgende Alan
Sinüs alan formülü, alan taşıma, açıortay–kenarortay ve benzerlik–alan ilişkisi.
Kenar & Yükseklik ile Alan
Alan, bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.
A(ABC) = a·hₐ2 = b·hb2 = c·hc2
Yükseklikler diklik merkezinde kesişir: dar açılıda içte, dik üçgende 90°’lik köşede, geniş açılıda dışarıda.
Dik Üçgenin Alanı
A(ABC) = a·h2 = b·c2
a · h = b · c
Dik kenarlar birbirinin yüksekliğidir.
Geniş Açılı Üçgenin Alanı
Yükseklik ayağı üçgenin dışına düşer; formül aynıdır.
A(ABC) = a·hₐ2
Sinüs Alan Formülü
A(ABC) = 12 · b · c · sinα
α + β = 180° ⇒ sin α = sin β
sin30° = ½, sin45° = √2/2, sin60° = √3/2, sin90° = 1, sin120° = √3/2, sin150° = ½
Alan Taşıma
Taban ve yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları eşittir.
d₁ // d₂ ⇒ A(ABC) = A(DBC) = h·|BC|2
Ortak parça çıkarılınca: A(ABK) = A(KDC)
Yükseklikleri Eşit Üçgenler
Alanlar oranı = tabanlar oranı.
A(ABD)A(ADC) = xy
Tabanları Eşit Üçgenler
Alanlar oranı = yükseklikler oranı.
A(ABC)A(BDC) = h₁h₂
Eşkenar ve 30°–30°–120° Üçgeni
Eşkenar: A = a²√34 30–30–120: A = a²√34
30–30–120’de a, eşit (yan) kenarlardır: ½·a·a·sin120°.
Açıortayların Alan Özelliği
İç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir; oluşan üçgenlerin yükseklikleri (r) eşittir. Alanlar kenarlarla orantılıdır.
A(ABI) : A(AIC) : A(BIC) = c : b : a
A(ABC) = r · u (u: yarı çevre)
Kenarortayların Alan Dağılımı
Üç kenarortay üçgeni 6 eş alana böler; ağırlık merkezi (G) köşelere birleştirilince 3 eş alan oluşur.
Her parça = A(ABC)6 · A(GAB) = A(GBC) = A(GAC) = A(ABC)3
Bir kenarortay da üçgeni iki eş alana böler. Orta tabanlar ise 4 eş üçgen oluşturur.
Benzerlik ve Alan İlişkisi
Benzer üçgenlerde alanlar oranı, benzerlik oranının karesidir.
ad = be = cf = k ⇒ A(ABC)A(DEF) = k²
ÖSYM’nin en sevdiği bağıntı! Çevreler oranı ise k’dır.
Eşit Aralıklı Paraleller
Kenarlar eşit aralıklarla tabana paralel doğrularla bölünürse alanlar tek sayılarla orantılı artar:
S : 3S : 5S : 7S : 9S : …
Paralellerin uzunlukları ise eşit miktarda artar.
Kenarlar Üzerinde Seçilen Üçgen
D, E, F kenarlar üzerinde iken (|AF| = m, |FB| = n, |BD| = x, |DC| = y, |AE| = t, |EC| = z):
A(DEF)A(ABC) = x·z·m + y·t·na·b·c
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: D) 27
|AD| = k·|AB| ve A(ABC) = S olsun. Benzerlik: A(ADE) = k²S = 12.
DBC ile ABC aynı yükseklikte: A(BCD) = (1 − k)S = 9.
Oranlarsak k²1 − k = 43 ⇒ 3k² + 4k − 4 = 0 ⇒ k = 23 ⇒ S = 91/3 = 27
|AD| = k·|AB| ve A(ABC) = S olsun. Benzerlik: A(ADE) = k²S = 12.
DBC ile ABC aynı yükseklikte: A(BCD) = (1 − k)S = 9.
Oranlarsak k²1 − k = 43 ⇒ 3k² + 4k − 4 = 0 ⇒ k = 23 ⇒ S = 91/3 = 27
Çözümü göster
Cevap: C) 90
|AD| = 3|AE| ⇒ D’nin AC’ye uzaklığı, E’ninkinin 3 katı: 3·2 = 6 br.
D açıortay üzerinde ⇒ D’nin AB’ye uzaklığı da 6 br.
A(ABC) = A(ABD) + A(ADC) = 6·|AB|2 + 6·|AC|2 = 3·30 = 90 br²
|AD| = 3|AE| ⇒ D’nin AC’ye uzaklığı, E’ninkinin 3 katı: 3·2 = 6 br.
D açıortay üzerinde ⇒ D’nin AB’ye uzaklığı da 6 br.
A(ABC) = A(ABD) + A(ADC) = 6·|AB|2 + 6·|AC|2 = 3·30 = 90 br²
Çözümü göster
Cevap: D) 22500
A(ADE) = 4500 + 3500 = 8000. ADE ile DBE, E’den aynı yüksekliğe sahip:
|AD||DB| = 800010000 = 45 ⇒ |AD||AB| = 49.
A(ABC) = 8000 · (94)² = 40500 ⇒ A(BEC) = 40500 − 8000 − 10000 = 22500 m²
A(ADE) = 4500 + 3500 = 8000. ADE ile DBE, E’den aynı yüksekliğe sahip:
|AD||DB| = 800010000 = 45 ⇒ |AD||AB| = 49.
A(ABC) = 8000 · (94)² = 40500 ⇒ A(BEC) = 40500 − 8000 − 10000 = 22500 m²
Çözümü göster
Cevap: D) 36
|AB| = 8 + 4 = 12, |AC| = 6 + 10 = 16. ABC dik üçgeninde cos(BAC) = 12/16 = 3/4.
m(DAC) = 90° ⇒ m(DAF) = 90° − m(BAC) ⇒ sin(DAF) = cos(BAC) = 3/4.
A(ADF) = 12 · 12 · 8 · 34 = 36 cm² (sinüs alan formülü)
|AB| = 8 + 4 = 12, |AC| = 6 + 10 = 16. ABC dik üçgeninde cos(BAC) = 12/16 = 3/4.
m(DAC) = 90° ⇒ m(DAF) = 90° − m(BAC) ⇒ sin(DAF) = cos(BAC) = 3/4.
A(ADF) = 12 · 12 · 8 · 34 = 36 cm² (sinüs alan formülü)
Çözümü göster
Cevap: D) 100
Katlamada |KD| = |KB| = 7, |LD| = |LC| = 9 ve m(KDM) = m(B), m(LDN) = m(C) ⇒ m(KDL) = m(A).
KL² iki üçgende kosinüs teoremiyle: 3² + 11² − 2·3·11·cosA = 7² + 9² − 2·7·9·cosA
130 − 66cosA = 130 − 126cosA ⇒ cosA = 0 ⇒ m(A) = 90°.
|AB| = 10, |AC| = 20 ⇒ A(ABC) = 10·202 = 100 br²
Katlamada |KD| = |KB| = 7, |LD| = |LC| = 9 ve m(KDM) = m(B), m(LDN) = m(C) ⇒ m(KDL) = m(A).
KL² iki üçgende kosinüs teoremiyle: 3² + 11² − 2·3·11·cosA = 7² + 9² − 2·7·9·cosA
130 − 66cosA = 130 − 126cosA ⇒ cosA = 0 ⇒ m(A) = 90°.
|AB| = 10, |AC| = 20 ⇒ A(ABC) = 10·202 = 100 br²
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Çokgenler
Açı toplamları, düzgün çokgen, düzgün beşgen ve altıgen.
Çokgende Temel Bağıntılar
İç açılar toplamı = (n − 2)·180° Dış açılar toplamı = 360°
Köşegen sayısı = n(n − 3)2 Bir köşeden: n − 3 köşegen, n − 2 üçgen
Dışbükey (konveks) çokgende her iç açı 180°’den küçüktür.
Düzgün Çokgen
Tüm kenarları ve tüm iç açıları eşit olan çokgen.
dış açı β = 360°n iç açı α = (n − 2)·180°n
α + β = 180° · n = 360°β
Sorularda iç açı yerine dış açıyla çalışmak çoğu zaman daha hızlıdır.
Düzgün Çokgenin Çevrel Çemberi
Bir kenarı gören merkez açı, dış açıya eşittir:
α = 360°n
Bir köşeden çizilen köşegenler arasındaki açılar eşittir ve her biri dış açının yarısıdır (çevre açı).
Eşit Kenar Ayıran Köşegenler
Düzgün çokgende eşit sayıda kenar ayıran köşegenlerin uzunlukları eşittir.
|AC| = |BD| = … (2 kenar) |AD| = |EH| = … (3 kenar)
Ortak kenarlı düzgün çokgen sorularında eşit kenarları işaretle; gizli ikizkenar ve eşkenar üçgenler çıkar.
Düzgün Beşgen
İç açı 108° Dış açı 72°
Tüm köşegenleri eşittir; köşegenler 36°’lik açılar ve 36–72–72 ikizkenar üçgenler oluşturur. Bir köşeden karşı kenara dikme simetri eksenidir.
Düzgün Altıgen
İç açı 120° Dış açı 60°
6 eş eşkenar üçgen ⇒ Alan = 6·a²√34 Köşegenler: a√3 ve 2a
Kısa köşegen altıgenin 1/6’sını, uzun köşegen yarısını ayırır: S, 3S, 2S dağılımları.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: C) 24
Düzgün çokgenin köşeleri çevrel çember üzerindedir; her kenar 360°/n’lik yay görür.
Kesişen iki kirişin arasındaki açı, gördükleri yayların toplamının yarısıdır: m(DTG) = ½·(yay AB + yay DG).
yay AB = 1 kenar, yay DG = 3 kenar ⇒ 30° = ½·4·360°n = 720°n ⇒ n = 24
Düzgün çokgenin köşeleri çevrel çember üzerindedir; her kenar 360°/n’lik yay görür.
Kesişen iki kirişin arasındaki açı, gördükleri yayların toplamının yarısıdır: m(DTG) = ½·(yay AB + yay DG).
yay AB = 1 kenar, yay DG = 3 kenar ⇒ 30° = ½·4·360°n = 720°n ⇒ n = 24
Çözümü göster
Cevap: B) 6
Eşit sayıda (3) kenar ayıran köşegenler eşit ⇒ |DG| = |AD| = x.
m(ADG): çevrel çemberde AG yayını (6 kenar = 180°) görür ⇒ 90°. Yani m(NDG) = 90°.
AD ile GH doğrularının arasındaki açı (dış açı hesabıyla) m(DNG) = 30° ⇒ 30–60–90 üçgeni: |DG| = |GN|/2 = 6
Eşit sayıda (3) kenar ayıran köşegenler eşit ⇒ |DG| = |AD| = x.
m(ADG): çevrel çemberde AG yayını (6 kenar = 180°) görür ⇒ 90°. Yani m(NDG) = 90°.
AD ile GH doğrularının arasındaki açı (dış açı hesabıyla) m(DNG) = 30° ⇒ 30–60–90 üçgeni: |DG| = |GN|/2 = 6
Çözümü göster
Cevap: C) 20
ABCF yamuğunda |FC| = 2|AB| ve yükseklik h. H’nin FC’ye uzaklığı y ise A(CFH) = |AB|·y, A(ABH) = |AB|(h − y)/2.
Toplarsak: A(ABH) + A(CFH)2 = |AB|·h2 = A(ABCF)3.
A(ABH) = x: x + 20 = 24 + 36 + 40 + x3 ⇒ 3x + 60 = 100 + x ⇒ x = 20
ABCF yamuğunda |FC| = 2|AB| ve yükseklik h. H’nin FC’ye uzaklığı y ise A(CFH) = |AB|·y, A(ABH) = |AB|(h − y)/2.
Toplarsak: A(ABH) + A(CFH)2 = |AB|·h2 = A(ABCF)3.
A(ABH) = x: x + 20 = 24 + 36 + 40 + x3 ⇒ 3x + 60 = 100 + x ⇒ x = 20
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Dörtgenler
Açı ve açıortay özellikleri, köşegenler, alan ve orta noktalar.
Dörtgende Açılar
a + b + c + d = 360° dış açılar toplamı = 360°
Komşu iki iç açının toplamı, komşu olmayan iki dış açının toplamına eşittir.
Dörtgende Açıortaylar
B ve C’nin iç açıortayları E’de kesişirse:
α = m(Â) + m(D̂)2
Karşılıklı iki köşenin açıortayları arasındaki açı: β = |m(Â) − m(Ĉ)|2
Köşegenleri Dik Dörtgen
[AC] ⊥ [BD] ⇒ a² + c² = b² + d²
İç bükey dörtgende de köşegenler (uzantıları) dikse aynı bağıntı geçerlidir.
Dörtgenin Alanı
A(ABCD) = 12·|AC|·|BD|·sinα
Köşegenler dikse: A = |AC|·|BD|2
Köşegenlerin Ayırdığı Alanlar
S₁ · S₃ = S₂ · S₄
Bir köşegenin ayırdığı üçgenlerin alanları oranı, o köşegeni kesen parçaların oranıdır.
Kenar Orta Noktaları (Varignon)
Kenarların orta noktaları birleştirilince paralelkenar oluşur.
Kenarları |AC|2 ve |BD|2 · Çevre = |AC| + |BD| · Alan = A(ABCD)2
Köşegenler eşitse eşkenar dörtgen, dikse dikdörtgen, ikisi birden ise kare olur.
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: B) 13
E = A + 13(D − A), F = C + 13(B − C) ⇒ EF = 2(C − A) + (B − D)3 (vektörel).
AC ⊥ BD olduğundan |EF|² = (2·18)² + 15²9 = 1296 + 2259 = 169 ⇒ |EF| = 13
E = A + 13(D − A), F = C + 13(B − C) ⇒ EF = 2(C − A) + (B − D)3 (vektörel).
AC ⊥ BD olduğundan |EF|² = (2·18)² + 15²9 = 1296 + 2259 = 169 ⇒ |EF| = 13
Çözümü göster
Cevap: A) 5
[AC] köşegeninin orta noktası M olsun.
E, DC’nin; M, AC’nin orta noktası ⇒ EM // AD, |EM| = 3. M, AC’nin; F, AB’nin orta noktası ⇒ MF // BC, |MF| = 4.
m(A) + m(B) = 90° ⇒ AD ile BC doğruları 90° ile kesişir ⇒ m(EMF) = 90° ⇒ |EF| = √(9 + 16) = 5
[AC] köşegeninin orta noktası M olsun.
E, DC’nin; M, AC’nin orta noktası ⇒ EM // AD, |EM| = 3. M, AC’nin; F, AB’nin orta noktası ⇒ MF // BC, |MF| = 4.
m(A) + m(B) = 90° ⇒ AD ile BC doğruları 90° ile kesişir ⇒ m(EMF) = 90° ⇒ |EF| = √(9 + 16) = 5
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Yamuk
Orta taban, yamukta alan, ikizkenar ve dik yamuk.
Yamuk
Yalnızca iki kenarı paralel dörtgen. Paralel kenarlar arasındaki komşu açılar bütünlerdir.
α + β = 180° x + y = 180°
Orta Taban
|EF| = a + c2 [AB] // [EF] // [DC]
Köşegenlerin orta noktaları arası uzaklık = a − c2
Yan kenara bitişik açıların açıortayları orta taban üzerinde, dik açıyla kesişir.
Yamukta Alan
A(ABCD) = a + c2 · h
Orta taban × yükseklik.
Köşegenlerin Ayırdığı Alanlar
Yan üçgenler eşit: S = S S² = A · B
Tabanlara komşu üçgenler (A ve B) benzerdir: alanlar oranı = (c/a)².
Yan Kenarın Orta Noktası
Bir yan kenarın orta noktası karşı yan kenarın uçlarına birleştirilirse:
A(AED) = A(ABCD)2
İkizkenar Yamuk
Yan kenarlar eşit; taban açıları eşit, köşegenler eşit.
|AE| = a + c2, |EB| = a − c2 ⇒ A(ABCD) = |AE|·h
Dik Yamuk
Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuk.
m(B̂) = m(Ĉ) = 90° Eğik kenarın izdüşümü: a − c
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: E) 168
m(ABD) = θ, m(DAB) = 2θ. [AB] üzerinde |ED| = |EB| olacak şekilde E alalım: m(EDB) = θ ⇒ m(DEA) = 2θ.
ADE’de A ve E açıları 2θ ⇒ |DE| = |DA| = 13 = |EB| ⇒ |AE| = 23 − 13 = 10.
13–13–10 ikizkenarında yükseklik h = 12 ⇒ A(ABCD) = (23 + 5)/2 · 12 = 168
m(ABD) = θ, m(DAB) = 2θ. [AB] üzerinde |ED| = |EB| olacak şekilde E alalım: m(EDB) = θ ⇒ m(DEA) = 2θ.
ADE’de A ve E açıları 2θ ⇒ |DE| = |DA| = 13 = |EB| ⇒ |AE| = 23 − 13 = 10.
13–13–10 ikizkenarında yükseklik h = 12 ⇒ A(ABCD) = (23 + 5)/2 · 12 = 168
Çözümü göster
Cevap: E) 45
Köşegenlerin orta noktaları arası uzaklık (a − c)/2 = h/2 ⇒ a − c = h.
Dik yamukta eğik kenarın tabana izdüşümü a − c = h ⇒ eğik kenarın oluşturduğu dik üçgen ikizkenar ⇒ en küçük iç açı 45°
Köşegenlerin orta noktaları arası uzaklık (a − c)/2 = h/2 ⇒ a − c = h.
Dik yamukta eğik kenarın tabana izdüşümü a − c = h ⇒ eğik kenarın oluşturduğu dik üçgen ikizkenar ⇒ en küçük iç açı 45°
Çözümü göster
Cevap: B) 12√5
İkizkenar yamuk çembere çizilebilir ve köşegenleri O’da dik kesişiyor. O’dan AD’ye dik çizilen doğru karşı kenar BC’yi ortalar (Brahmagupta) ⇒ |BC| = 10 = |AD|.
AOD dik üçgeninde Öklid: |OD|² = 2·10 ⇒ |OD| = 2√5; |OA|² = 8·10 ⇒ |OA| = 4√5.
|AC| = |BD| = 4√5 + 2√5 = 6√5 ⇒ toplam 12√5
İkizkenar yamuk çembere çizilebilir ve köşegenleri O’da dik kesişiyor. O’dan AD’ye dik çizilen doğru karşı kenar BC’yi ortalar (Brahmagupta) ⇒ |BC| = 10 = |AD|.
AOD dik üçgeninde Öklid: |OD|² = 2·10 ⇒ |OD| = 2√5; |OA|² = 8·10 ⇒ |OA| = 4√5.
|AC| = |BD| = 4√5 + 2√5 = 6√5 ⇒ toplam 12√5
Konu
PDF kitapçığı aç ↗Paralelkenar
Açıortay ve ikizkenar, köşegenler, alan bağıntıları.
Paralelkenar
Karşılıklı kenarları paralel ve eşit; karşılıklı açıları eşit.
α + β = 180° Ç = 2(a + b)
Açıortay ve İkizkenar
[AE açıortay ⇒ |DA| = |DE|
Komşu köşelerin açıortayları birbirine diktir; kesişme noktaları orta taban üzerindedir.
Köşegen Özellikleri
Köşegenler birbirini ortalar: |AE| = |EC|, |BE| = |ED|
Karşılıklı köşelerden köşegene çizilen dikmeler eşittir.
Dıştaki Doğruya Uzaklıklar
|AA′| + |CC′| = |BB′| + |DD′|
Doğru paralelkenarı keserse karşı taraftaki uzaklık eksi alınır.
Paralelkenarın Alanı
A = a·hₐ = b·hb
Bir köşegen iki eş üçgen; iki köşegen dört eş alan oluşturur.
Kenardaki Nokta
E ∈ [DC] ⇒ A(ABE) = A(ABCD)2
İç Noktanın Ayırdığı Alanlar
S₁ + S₃ = S₂ + S₄ = A(ABCD)2
Animasyonun üstündeki sekmelerle diğer sahnelere de geçebilirsin.
Şıkkı seç, hemen doğru mu yanlış mı gör. Takılırsan çözümü aç.
Çözümü göster
Cevap: D) 60
DE’yi uzatıp AB’nin uzantısını G’de kessin. E, BC’nin orta noktası ⇒ ECD ≅ EBG ⇒ |BG| = |DC| = |AB|.
AFG dik üçgeninde FB kenarortay ⇒ |FB| = |AG|/2 = |AB|.
|AF| = |AB| = |FB| ⇒ ABF eşkenar ⇒ α = 60°
DE’yi uzatıp AB’nin uzantısını G’de kessin. E, BC’nin orta noktası ⇒ ECD ≅ EBG ⇒ |BG| = |DC| = |AB|.
AFG dik üçgeninde FB kenarortay ⇒ |FB| = |AG|/2 = |AB|.
|AF| = |AB| = |FB| ⇒ ABF eşkenar ⇒ α = 60°
Çözümü göster
Cevap: C) 36
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin bir doğruya uzaklıkları toplamı eşittir: d(A) + d(C) = d(B) + d(D).
B doğru üzerinde, A ise C ve D’nin karşı tarafında ⇒ −d(A) + 10 = 0 + 4 ⇒ d(A) = 6.
A(ABE) = ½ · 12 · 6 = 36
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin bir doğruya uzaklıkları toplamı eşittir: d(A) + d(C) = d(B) + d(D).
B doğru üzerinde, A ise C ve D’nin karşı tarafında ⇒ −d(A) + 10 = 0 + 4 ⇒ d(A) = 6.
A(ABE) = ½ · 12 · 6 = 36
Takıldığın bir soru mu var?
Erdal Hoca’ya yazBirebir ya da online derste birlikte çözelim.